Encontrar Determinantes de Matrices

En esta sección, aprenderás a encontrar los determinantes de matrices de $2 \times 2$ y $3 \times 3$ a mano, sin usar una calculadora gráfica.

Un teorema matemático establece que una matriz es singular si y solo si su determinante es cero. ¿Es al siguiente matriz una matriz singular?

$\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\\\0 & 2 & 1\\\-1 & 3 & 0\end{bmatrix}$

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James Sousa: Evaluating Determinants of a 2x2 and 3x3 Matrix

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Orientación

Cada matriz cuadrada tiene un valor de número real asociado. Este valor se llama determinante. y es representado por $det \ A$ o $|A|$ .

Encontrar el Determinante de una Matriz $2 \times 2$ :

$det\begin{bmatrix}a & b\\\c & d\end{bmatrix} = \begin{vmatrix}{\color{red}a} & {\color{blue}b}\\\{\color{blue}c} & {\color{red}d}\end{vmatrix} = {\color{red}ad}- {\color{blue}bc}$

Encontrar el Determinante de una Matriz $3 \times 3$ matrix: Primero, se repiten las primeras dos columnas después de la matriz. Luego, se calculan los productos y sumas y se calcula la diferencia, como se muestra a continuación. El resultado es el determinante de la matriz $3 \times 3$ .

Usar el determinante para encontrar el Área de un Triángulo en el plano cartesiano:

El área de un triangulo se puede determinar con los vértices $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ y la formula

$A = \pm\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & 1\\\x_2 & y_2 & 1\\\x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix},$ donde $\pm$ representa la posibilidad de que el determinante sea negativo pero el área sea siempre positiva.

Usar la calculadora para encontrar el determinante de una matriz: Si tienes una TI-83 o TI-84, accede al menú matriz presionando MATRIX o ( $2^{nd} \ x^{-1}$ MATRIX). Ahora puedes escoger la opción EDIT matrix $A$ . Ingresa las dimensiones de la matriz deseada y los valores de los datos. Ahora, vuelve al inicio ( $2^{nd}$ MODE QUIT) e ingresa nuevamente al menú MATRIX, MATH y selecciona 1: det presionando ENTER. Vuelve al menú MATRIX una vez más y selecciona 1: $[A]$ ajo la columna NAMES. Presiona ENTER. La pantalla debiera mostrar lo siguiente $det([A]$ Presiona ENTER una vez más y el resultado será el determinante que buscas. Estas instrucciones funcionan para matrices cuadradas de cualquier tamaño.

Ejemplo A

Encuentra el $det\begin{bmatrix}3 & -4\\\1 & 5\end{bmatrix}.$

Solución: El determinante se puede encontrar siguiendo las instrucciones presentadas para matrices de $2 \times 2$ de la siguiente manera:

$det\begin{bmatrix}3 & -4\\\1 & 5\end{bmatrix} = \begin{vmatrix}{\color{red}3} & {\color{blue}-4}\\\{\color{blue}1} & {\color{red}5}\end{vmatrix} = {\color{red}(3)(5)}-{\color{blue}(-4)(1)} = {\color{red}15}-{\color{blue}(-4)} = 19$

Ejemplo B

Encuentra el $det\begin{bmatrix}2 & -3 & 5\\\-4 & 7 & 1\\\3 & 8 & 6\end{bmatrix}.$

Solución:

Primero, debemos repetir las primeras dos columnas. Luego, podemos calcular los productos diagonales, como se muestra a continuación:

$\begin{bmatrix}2 & -3 & 5\\\-4 & 7 & 1\\\3 & 8 & 6\end{bmatrix}\begin{matrix}2 & -3\\\-4 & 7\\\3 & 8\end{matrix}\\\{\color{red}(2 \cdot 7 \cdot 6)+(-3 \cdot 1 \cdot 3)+(5\cdot-4\cdot8)} & \ {\color{red}= 84+-9+-160 = -85}\\\= \ {\color{blue}(3\cdot7\cdot5)+(8\cdot 1\cdot 2)+(6\cdot-4\cdot-3)} & \ {\color{blue}= 105+16+72 = 193}\\\{\color{red}-85}-{\color{blue}193} &= -278$

Ejemplo C

Encuentra el área del triangulo con vértices (2, -1), (4, 5) y (8, 1)

Solución:

El primer paso es preparar la matriz y encontrar el determinante como se muestra abajo:

$\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\\4 & 5 & 1\\\8 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{matrix}2 & -1\\\4 & 5\\\8 & 1\end{matrix}\\\{\color{red}(2\cdot5\cdot1)+(-1\cdot1\cdot8)+(1\cdot4\cdot1)} & \ {\color{red}=10+-8+4=6}\\\= \ {\color{blue}(8\cdot5\cdot1)+(1\cdot1\cdot2)+(1\cdot4\cdot-1)} & \ {\color{blue}= 40+2-4=38}\\\{\color{red}6}-{\color{blue}38} &= -32$

Luego, multiplicamos este determinante, -32, por $-\frac{1}{2}$ (el factor será negativo para obtener un producto positivo). Esto da como resultado 16; por ende, el área del triángulo es 16 $u^{2}$ .

Revisión del Problema Inicial Para encontrar el determinante, primero debemos repetir las primeras dos columnas. Luego, podemos calcular los productos diagonales, como se muestra a continuación:

$\begin{bmatrix}2 & 1 & 3\\\0 & 2 & 1\\\-1 & 3 & 0\end{bmatrix}\begin{matrix}2 & 1\\0 & 2\\-1 & 3\end{matrix}\\{\color{red}(2 \cdot 2 \cdot 0)+(1 \cdot 1 \cdot -1)+(3 \cdot 0 \cdot 3)} & \ {\color{red}= 0+ -1 + 0 = -1}\\= \ {\color{blue}(3 \cdot 2 \cdot -1)+(2 \cdot 1 \cdot 3)+(1 \cdot 0 \cdot 0)} & \ {\color{blue}= -6 + 6 + 0 = 0}\\{\color{red}-1}-{\color{blue}0} &= -1$

El determinante no es cero y por ende la matriz no es singular.

Práctica Guiada

Encuentra los determinantes de las siguientes matrices.

1. $\begin{bmatrix}-1 & 8\\\2 & -9\end{bmatrix}$

2. $\begin{bmatrix}-2 & 4 & -3\\\5 & -6 & 1\\\-4 & 1 & -2\end{bmatrix}$

3. Encuentra el área del triangulo con vértices (-5, 2), (8, -1) y (3, 9)

Respuestas

1. $\begin{vmatrix}{\color{red}-1} & {\color{blue}8}\\\{\color{blue}2} & {\color{red}-9}\end{vmatrix} = {\color{red}(-1)(-9)}-{\color{blue}(8)(2)} = {\color{red}9}-{\color{blue}16} = -7$

2. $\begin{vmatrix}-2 & 4 & -3\\\5 & -6 & 1\\\-4 & 1 & -2\end{vmatrix}\begin{matrix}-2 & 4\\\5 & -6\\\-4 & 1\end{matrix}\\\{\color{red}(-2\cdot-6\cdot-2)+(4\cdot-1\cdot-4)+(-3\cdot5\cdot1)} & \ {\color{red}= -24+16-15=-23}\\\= \ {\color{blue}(-4\cdot-6\cdot-3)+(1\cdot1\cdot-2)+(-2\cdot5\cdot4)} & \ {\color{blue}= -72-2-40=-114}\\\{\color{red}-23}-{\color{blue}(-114)} &= 91$

3. $\begin{vmatrix}-5 & 2 & 1\\\8 & -1 & 1\\\3 & 9 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}-5 & 2\\\8 & -1\\\3 & 9\end{matrix}\\\= \ {\color{red}(5+6+72)}-{\color{blue}(-3 + -45 + 16)} = {\color{red}83}-{\color{blue}(-32)} = 115$

Por lo tanto es área es $\frac{1}{2}(115) = 57.5 \ u^{2}$ .

Práctica

Encuentra los determinantes de las siguientes matrices. Usa tu calculadora para verificar tus respuestas.

$\begin{bmatrix}2 & -1\\\3 & 5\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-3 & -2\\\6 & 4\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5 & 10\\\-3 & -7\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}-4 & 8\\\3 & 5\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}11 & 3\\\7 & 2\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}9 & 3\\\2 & -1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}1 & -1 & 3\\\5 & 0 & 6\\\-4 & 8 & 2\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}5 & -2 & 1\\\6 & 1 & 0\\\-3 & 2 & 4\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}4 & -1 & 2\\\3 & 0 & 1\\\-2 & 5 & 6\end{bmatrix}$

Encuentra el área de cada triángulo con los vértices dados.

(2, -1), (-5, 2) and (0, 6)
(-8, 12), (10, 5) and (1, -4)
(-7, 2), (8, 0) and (3, -4)

Encuentra el valor de $a$ en las siguientes matrices.

$\begin{vmatrix}a & 3\\\8 & 2\end{vmatrix} = -10$

$\begin{vmatrix}4 & a\\\3 & 5\end{vmatrix} = -1$

$\begin{vmatrix}2 & -1 & 3\\\4 & 5 & 2\\\-3 & 0 & a\end{vmatrix} = 23$

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