La Regla de Cramer

En esta sección, aprenderás a usar la Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres variables.

En la feria del libro de tu escuela, los libros de bolsillo y los de tapa dura tienen precios distintos. Compras 3 libros de bolsillo y 2 libros de tapa dura. En total gastaste $54. Tu mejor amigo compra 2 libros de bolsillo y 4 libros de tapa dura. En total gastó $76. ¿Cómo usarías una matriz para calcular el precio de cada tipo de libro?

Orientación

Anteriormente, aprendimos a resolver sistemas de ecuaciones lineales con gráficos, sustitución y combinaciones lineales. En esta sección, aprenderemos a usar matrices y determinantes para resolver sistemas lineales.

La Regla de Cramer para Dos Variables:

Dado el sistema: $ax+by &= e\\\cx+dy &= f,$ podemos preparar la matriz $A$ resolver para $x$ e $y$ como se muestra abajo:

$A = \begin{bmatrix}a & b\\\c & d\end{bmatrix}, \ x=\frac{\begin{vmatrix}{\color{red}e} & d\\\{\color{red}f} & b\end{vmatrix}}{det \ A}$ y $y = \frac{\begin{vmatrix}a & {\color{red}e}\\\c & {\color{red}f}\end{vmatrix}}{det \ A},$ dado que $|A| \ne 0$ .

Nota: Cuando $|A| = 0$ , no hay solo una solución. Debemos analizar con mayor profundidad para comprobar si hay soluciones infinitas o no hay soluciones. Observa el patrón presente en la situación. Los coeficientes de la variable que estamos tratando de encontrar son reemplazados por las constantes.

La Regla de Cramer para Tres Variables:

Dado el sistema: $ax+by+cz &= j\\\dx+ey+fz &= k\\\gx+hy+iz &= l,$ podemos preparar la matriz $A$ y resolver para $x$ e $y$ como se muestra abajo:

$A = \begin{bmatrix}a & b & c\\\d & e & f\\\g & h & i\end{bmatrix}$

$x = \frac{\begin{vmatrix}{\color{red}j} & b & c\\\{\color{red}k} & e & f\\\{\color{red}l} & h & i\end{vmatrix}}{det \ A}$ , $y = \frac{\begin{vmatrix}a & {\color{red}j} & c\\\d & {\color{red}k} & f\\\g & {\color{red}l} & i\end{vmatrix}}{det \ A}$ y $z = \frac{\begin{vmatrix}a & b & {\color{red}j}\\\d & e & {\color{red}k}\\\g & h & {\color{red}l}\end{vmatrix}}{det \ A}$

Dado que $|A| \ne 0$ . Nuevamente, si $|A| = 0$ , no existe una sola solución. Al igual que el caso anterior, hay un patrón. Los coeficientes de la variable que estamos tratando de encontrar son reemplazados por las constantes.

Ejemplo A

Usa la Regla de Cramer para resolver el sistema: $3x-7y &=13\\\-5x+9y &=-19$

Solución:

La matriz $A$ está conformada por los coeficientes de $x$ e $y$ :

$A = \begin{bmatrix}3 & -7\\\-5 & 9\end{bmatrix}$

Ahora podemos encontrar el $det \ A = (3\cdot9)-(-7\cdot-5) = 27-35=-8$

Usando las formulas anteriores obtenemos:

$x = \frac{\begin{vmatrix}{\color{red}13} & -7\\\{\color{red}-19} & 9\end{vmatrix}}{-8}=\frac{(13\cdot9)-(-7\cdot-19)}{-8}=\frac{-16}{-8}=2$

$y = \frac{\begin{vmatrix}3 & {\color{red}13}\\\-5 & {\color{red}-19}\end{vmatrix}}{-8}=\frac{(3\cdot-19)-(13\cdot-5)}{-8}=\frac{-57-(-65)}{-8}=\frac{8}{-8}=-1$

Por ende la solución es (2, -1).

Ejemplo B

Usa la Regla de Cramer para resolver el sistema: $6x+3y &=-12\\\2x+y &=20$

Solución:

La matriz $A$ está conformada por los coeficientes de $x$ e $y$ :

$A = \begin{bmatrix}6 & 3\\\2 & 1\end{bmatrix}$

Ahora podemos encontrar el $det \ A = (6\cdot1)-(3\cdot2) = 6-6=0$

Debido a que el determinante es cero, no hay solo una solución y no podemos resolver el sistema usando la Regla de Cramer. Al mirar el sistema, notamos que el lado izquierdo de la ecuación es múltiplo de la segunda ecuación, por 3. Los lados derechos no son múltiplos entre ellos; por lo tanto, no hay solución.

Ejemplo C

Usa la Regla de Cramer para resolver el sistema: $2x+2y-z &=-7\\\5x+y-2z &=-3\\\x-3y+2z &=21$

Solución:

La matriz $A$ está conformada por los coeficientes de $x, y$ e $z$ :

$\begin{bmatrix}2 & 2 & -1\\\5 & 1 & -2\\\1 & -3 & 2\end{bmatrix}$

Ahora podemos encontrar el determinante de la matriz $A$ :

$det \ A &=\begin{vmatrix}2 & 2 & -1\\\5 & 1 & -2\\\1 & -3 & 2\end{vmatrix}\begin{matrix}2 & 2\\\5 & 1\\\1 & -3\end{matrix}\\\&= [(2)(1)(2)+(2)(-2)(1)+(-1)(5)(-3)]-[(1)(1)(-1)+(-3)(-2)(2)+(2)(5)(2)]\\\&= [4-4+15]-[-1+12+20]\\\&=15-31\\\&=-16$

Usando la formulas presentadas, podemos encontrar los valores de $x, y$ e $z$ como se muestra abajo:

$x = \frac{\begin{vmatrix}{\color{red}-7} & 2 & -1\\\{\color{red}-3} & 1 & -2\\\{\color{red}21} & -3 & 2\end{vmatrix}}{-16}=\frac{-32}{-16}=2 \qquad y = \frac{\begin{vmatrix}2 & {\color{red}-7} & -1\\\5 & {\color{red}-3} & -2\\\1 & {\color{red}21} & 2\end{vmatrix}}{-16}=\frac{48}{-16}=-3 \qquad z = \frac{\begin{vmatrix}2 & 2 & {\color{red}-7}\\\5 & 1 & {\color{red}-3}\\\1 & -3 & {\color{red}21}\end{vmatrix}}{-16}=\frac{-80}{-16}=5$

Por ende la solución es (2, -3, 5).

Revisión del Problema Inicial El sistema de ecuaciones lineales representado en esta situación es:

$3x + 2y = 54\\\2x + 4y = 76$

Podemos crear una matriz y aplicar la Regla de Cramer para encontrar el valor de cada tipo de libro.

$A = \begin{bmatrix}3 & 2\\\2 & 4\end{bmatrix}$

Ahora podemos encontrar el $det \ A = (3\cdot4)-(2\cdot2) = 12-4=8$

Usando las formulas anteriores obtenemos:

$x = \frac{\begin{vmatrix}{\color{red}54} & 2\\\{\color{red}76} & 4\end{vmatrix}}{8}=\frac{(54\cdot4)-(76\cdot2)}{8}=\frac{216-152}{8}=8$

$y = \frac{\begin{vmatrix}3 & {\color{red}54}\\\2 & {\color{red}76}\end{vmatrix}}{8}=\frac{(3\cdot76)-(2\cdot54)}{8}=\frac{(228-108)}{8}=15$

Por lo tanto, los libros de bolsillo cuestan $8 y los de tapa dura $15.

Práctica Guiada

Usa la Regla de Cramer para resolver los sistemas.

1. $2x+5y &=7\\\x+3y &=2$

2. $4x-y &=6\\\-8x+2y &=10$

3. $x+2y+3z &=8\\\2x-y+4z &=3\\\-x-4y+3z &=14$

Respuestas

1. Encuentra el $det \ A = \begin{vmatrix}2 & 5\\\1 & 3\end{vmatrix} = 1.$ Luego resuelve para $x$ e $y$ como se muestra:

$x= \frac{\begin{vmatrix}7 & 5\\\2 & 3 \end{vmatrix}}{1} = \frac{11}{1}=11 \qquad y= \frac{\begin{vmatrix}2 & 7\\\1 & 2 \end{vmatrix}}{1} = \frac{-3}{1}=-3, \quad \text{solution:} \ (11,-3)$

2. Encuentra el

$det \ A= \begin{vmatrix}4 & -1 \\\-8 & 2 \end{vmatrix} = 8-8 = 0.$

Por ende, no hay una sola solución. Debemos usar combinación lineal o sustitución para determinar si tiene soluciones infinitas o si no tiene solución. Al usar combinación lineal, podemos multiplicar la primera ecuación por 2 y obtener lo siguiente:

$& \quad 8x-2y=12 \\\& \ \underline{-8x+2y=10 \; \;} \ \Rightarrow \quad \text{Therefore, there is no solution}.\\\& \qquad \quad \ \ 0=22$

3. Encuentra el

$det \ A=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\\2 & -1 & 4\\\-1 & -4 & 3 \end{vmatrix}=-34.$

Luego resuelve para $x, y$ y $z$ como se muestra:

$x= \frac{\begin{vmatrix}8 & 2 & 3\\\3 & -1 & 4\\\14 & -4 & 3\end{vmatrix}}{-34} = \frac{204}{-34}=-6 \qquad y= \frac{\begin{vmatrix}1 & 8 & 3\\\2 & 3 & 4 \\\-1 & 14 & 3\end{vmatrix}}{-34} = \frac{-34}{-34}=1 \qquad z= \frac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 8\\\2 & -1 & 3\\\-1 & -4 & 14\end{vmatrix}}{-34}=\frac{-136}{-34}=4$

La solución es (-6, 1, 4).

Práctica

Usa la Regla de Cramer para resolver los sistemas. Si no existe una sola solución, utiliza un método alternativo para determinar si el sistema tiene soluciones infinitas o no tiene soluciones.

$5x-y &= 22\\\-x+6y &= -16$
$2x+5y &= -1\\\-3x-8y &= 1$
$4x-3y &= 0\\\-6x+9y &= 3$
$4x-9y &= -20\\\-5x+15y &= 25$
$2x-3y &= -4\\\8x+12y &= -24$
$3x-7y &= 12\\\-6x+14y &= -24$
$x+5y &= 8\\\-2x-10y &= 16$
$2x-y &= -5\\\-3x+2y &= 13$
$x+y &= -1\\\-3x-2y &= 6$

Usa la Regla de Cramer para resolver los sistemas. Puedes usar tu calculadora para revisar los determinantes.

$3x-y+2z &= 11\\\-2x+4y+13z &= -3\\\x+2y+9z &=5$
$3x+2y-7z &= 1\\\-4x-3y+11z &= -2\\\x+4y-z &=7$
$6x-9y+z &= -6\\\4x+3y-2z &= 10\\\-2x+6y+z &=0$
$x-2y+3z &= 5\\\4x-y+4z &= 14\\\5x+2y-4z &=-3$
$-3x+y+z &= 10\\\2x+y-2z &= 15\\\-4x-2y+4z &=-20$
La familia Smith y la familia Jamison van a la feria del pueblo. Los Smith comprar 6 choclos en brocheta y 3 algodones de azúcar por $21,75. Los Jamison compran 3 choclos en brocheta y 4 algodones de azúcar por $15,25. Escribe una ecuación lineal y resuélvela usando la Regla de Cramer para encontrar en valor de los choclos y los algodones.

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