Encontrar la Inversa de una Matriz

En esta sección, aprenderás sobre el concepto de matriz inversa y cómo encontrar la inversa una matriz de $2 \times 2$ a mano.

En la feria del libro de tu escuela, compras 3 libros de bolsillo y 3 libros de tapa dura. Tu mejor amigo compra 2 libros de bolsillo y 4 libros de tapa dura. ¿Cuál es la inversa de la matriz representada en esta situación?

Orientación

Recuerda que el inverso multiplicativo de un número real es el recíproco del número y el producto de un número y su inverso multiplicativo es la identidad de la multiplicación , o 1. Por ejemplo: $\frac{3}{7} \times \frac{7}{3}=1$ . Ahora, debemos definir la identidad multiplicativa y el inverso multiplicativo de una matriz cuadrada. En los números reales, el 1 es considerado la identidad, ya que cualquier número, $a$ , multiplicado por 1 dará como resultado $a$ . En otras palabras, el valor del número no cambia. En las matrices, el inverso multiplicativo de una matriz cuadrada será una matriz cuadrada en la que los valores de la diagonal principal son 1 y el resto de los valores son todos cero. Las siguientes son ejemplos de matrices identidades.

$I= \begin{bmatrix}1 & 0\\\0 & 1 \end{bmatrix} \qquad I= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\\0 & 1 & 0\\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad I= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\\0 & 1 & 0 & 0 \\\0 & 0 & 1 & 0\\\0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Los siguientes productos muestran como multiplicar una matriz por la identidad y obtener como resultado la matriz original.

Dado:

$A= \begin{bmatrix} 2 & -1\\\-3 & 5 \end{bmatrix}, \ AI=\begin{bmatrix} 2 & -1\\\-3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\\0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2(1)+(-1)(0) & 2(0)+(-1)(1)\\\ (-3)(1)+5(0) & (-3)(0)+5(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\\-3 & 5 \end{bmatrix}$

El orden de la multiplicación por la matriz identidad no afecta al producto. En otras palabras, $AI=IA=A$ .

Ahora que sabemos lo que es una matriz identidad, podemos determinar una matriz inversa como $A(A^{-1})=(A^{-1})A=I$ .

La fórmula para encontrar el Inverso de una matriz de $2 \times 2$ es:

Dado:

$A=\begin{bmatrix}a & b\\\c & d \end{bmatrix}, \ A^{-1}= \frac{1}{det[A]}\begin{bmatrix}d & -b\\\-c & a \end{bmatrix}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\\-c & a \end{bmatrix},$

donde $ad-bc \ne 0$

$^*$ Nota: Si $ad-bc = 0$ o $det[A]=0$ , la matriz $A$ es llamada singular . La inversa de una matriz singular no se puede determinar.

Ejemplo A

Encuentra la matriz inversa de $\begin{bmatrix} 1 & 2\\\-3 & 7 \end{bmatrix}$ y verifica que tu resultado sea inverso.

Solución: Primero, usa la formula dada para encontrar la inversa.

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\\-3 & 7 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{(1)(7)-(2)(-3)}\begin{bmatrix} 7 & -2\\3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{13}\begin{bmatrix} 7 & -2\\3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{7}{13} & -\frac{2}{13}\\ \frac{3}{13} & \frac{1}{13} \end{bmatrix}$

Luego, para verificar que esta sea la inversa, debemos comprobar que el producto de la inversa y la matriz original es la matriz identidad de una matriz de $2 \times 2$ Será más sencillo encontrar el producto usando la forma de la inversa en la que el reciproco del determinante no ha sido distribuido en la matriz, como se muestra abajo:

$\frac{1}{13} \begin{bmatrix}7 & 2\\\-3 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & -2\\\3 & 7\end{bmatrix} = \frac{1}{13}\begin{bmatrix}(7)(1)+(-2)(-3) & (7)(-2)+(2)(7)\\\(-3)(1)+(1)(3) & (-3)(-2)+(1)(7)\end{bmatrix} = \frac{1}{13}\begin{bmatrix}13 & 0\\\0 & 13\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0\\\0 & 1\end{bmatrix}$

Ejemplo B

¿Son $\begin{bmatrix} 4 & -3\\\-3 & 2 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} -2 & -3\\\-3 & -4 \end{bmatrix}$ inversas?

Solución: Si las matrices son inversas, entonces el producto será la matriz identidad.

$\begin{bmatrix} 4 & -3\\\-3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2 & -3\\\-3 & -4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}(4)(-2)+(-3)(-3) & (4)(-3)+(-3)(-4)\\(-3)(-2)+(2)(-3) & (-3)(-3)+(2)(-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}$

Ya que el producto es la matriz identidad, las matrices son inversas entre sí.

Ejemplo C

Encuentra la inversa de la matriz

$\begin{bmatrix} 4 & 6\\\-2 & -3 \end{bmatrix}.$

Solución: Usa la formula dada para encontrar la inversa.

$\begin{bmatrix} 4 & 6\\\-2 & -3 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{(4)(-3)-(6)(-2)}\begin{bmatrix} -3 & -6\\\2 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{0}\begin{bmatrix} -3 & -6\\\2 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow \ & \text{the inverse does not exist.}\\\& \text{This matrix is singular.}$

Revisión del Problema Inicial La matriz representada en esta situación es: $\begin{bmatrix} 3 & 2\\\2 & 4 \end{bmatrix}$

Usa la formula que aprendiste en esta lección para encontrar la inversa.

$\begin{bmatrix} 3 & 2\\\2 & 4 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{[(3)(4)-(2)(2)]}\begin{bmatrix} 4 & -2\\-2 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{8}\begin{bmatrix} 4 & -2\\-2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{8} \end{bmatrix}$

Vocabulario

Inverso Multiplicativo en Números Reales: El reciproco de un número. El producto de un número y su inverso multiplicativo siempre será la identidad multiplicativa.

Identidad Multiplicativa en Números Reales: El número 1. Cualquier número puede ser multiplicado por 1 sin cambiar de valor.

Identidad Multiplicativa en Matrices: La matriz cuadrada puede ser multiplicada por cualquier matriz cuadrada del mismo tamaño y mantener los valores de la matriz original. Esta matriz estará compuesta de unos en la diagonal central y ceros en los otros puntos.

Inverso Multiplicativo en Matrices: La matriz cuadrada, $A^{-1}$ , como $A^{-1}A=AA^{-1}=I$ .

Práctica Guiada

1. ¿Son las matrices $\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 1\\\-\frac{1}{2} & 2 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} -12 & 6\\\-3 & 2 \end{bmatrix}$ inversas entre sí?

2. Encuentra la inversa de

$\begin{bmatrix} 4 & 2\\\10 & 5 \end{bmatrix}.$

3. Encuentra la inversa de

$\begin{bmatrix} 3 & -4\\\6 & -7 \end{bmatrix}.$

Respuestas

1. $\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & 1\\\-\frac{1}{2} & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -12 & 6\\\-3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \left(-\frac{1}{3}\right)(-12)+(1)(-3) & \left(-\frac{1}{3}\right)(6)+(1)(2) \\\left(-\frac{1}{2}\right)(-12)+(2)(-3) & \left(-\frac{1}{2}\right)(6)+(2)(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}.$

Si, son inversas.

2. $\begin{bmatrix} 4 & 2\\\10 & 5 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{(4)(5)-(2)(10)}\begin{bmatrix} 5 & -2\\\-10 & 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{0} \begin{bmatrix} 5 & -2\\\-10 & 4 \end{bmatrix} \Rightarrow & \ \text{inverse does not exist.}\\\& \text{This matrix is singular.}$

3. $\begin{bmatrix} 3 & -4\\\6 & -7 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{(3)(-7)-(-4)(6)}\begin{bmatrix} -7 & 4\\\-6 & 3 \end{bmatrix} = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -7 & 4\\\-6 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{7}{3} & \frac{4}{3}\\\-2 & 1 \end{bmatrix}$

Práctica

Determina si los siguientes pare de matrices son inversas entre sí.

$\begin{bmatrix} 5 & -15\\\3 & -10 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 2 & -3\\\\frac{3}{5} & -1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & 7\\\1 & 2 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} -2 & 7\\\1 & -3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -5 & 8\\\1 & 3 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 3 & -8\\\-1 & -5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -5 & 4\\\-9 & 7 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} 7 & -4\\\9 & -5 \end{bmatrix}$

Encuentra la inversa de cada matriz, si existe.

$\begin{bmatrix} -11 & 7\\\-3 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 6 & -3\\\8 & -5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\\4 & 9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & -3\\\6 & 9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 4\\\5 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 & 1\\\3 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -4 & 7\\\0 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2 & -6\\\-6 & 18 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 7 & 5\\\14 & 10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 5\\\-2 & 6 \end{bmatrix}$

Para que dos matrices de 2x2, A y B, sean inversas entre sí, ¿qué debe ser cierto de AB y BA ?

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