Resolver una Ecuación Matricial

En esta sección, aprenderás como resolver matrices desconocidas en ecuaciones matriciales.

Katel y Juan están a cargo de construir un escenario para la obra de teatro de su escuela. Van a la ferretería a comprar los suministros necesarios. Katel compra 10 yardas de madera y 2 martillos. En total gasta $130. Juan compra 8 yardas de madera y 4 martillos. En total gasta $116. ¿Cómo podrías usar una matriz inversa para encontrar el costo de cada yarda de madera y cada martillo?

Orientación

Resolver ecuaciones matriciales es muy similar a resolver ecuaciones con números reales. De igual manera que los números reales, podemos sumar o restar la misma matriz en ambos lado de una ecuación para aislar la matriz de variables. La diferencia es que no podemos dividir por una matriz. La división por una matriz no está definida. Sin embargo, podemos multiplicar por la inversa de una matriz para aislar la matriz de variables. Ten cuidado, la multiplicación de matrices no es conmutativa por lo que debes multiplicar a la derecha o a la izquierda en ambos lados de la ecuación. Para demostrar, tomemos la matriz de variables, $x$ , y las matrices de contantes, $A$ y $B$ .

Si $AX=B$ , entonces solo debemos multiplicar en la izquierda para resolver, como se muestra abajo:

$AX &= B\\\A^{-1} AX &= A^{-1} B\\\IX &= A^{-1} B\\\X &= A^{-1} B$

Si $XA=B$ , entonces solo debemos multiplicar en la derecha para resolver, como se muestra abajo:

$XA &= B\\\XAA^{-1} &= BA^{-1} \\\XI &= BA^{-1}\\\X &= BA^{-1}$

Ejemplo A

Resuelve la ecuación: $\begin{bmatrix} 2 & -4\\\5 & 1 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} -14 & -14\\\-13 & 9 \end{bmatrix}$

Solución: Para aislar la matriz de variables, representada por $X$ , necesitamos eliminar la matriz que multiplica a $X$ en la izquierda. Encuentra la inversa de $\begin{bmatrix} 2 & -4\\\5 & 1 \end{bmatrix}$ y úsala para multiplicar en la izquierda de ambos lados de la ecuación.

$\begin{bmatrix} 2 & -4\\\5 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{2-(-20)} \begin{bmatrix} 1 & 4\\-5 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{22} \begin{bmatrix} 1 & 4\\-5 & 2 \end{bmatrix}$

Ahora, multiplica por su inversa en la izquierda de ambos lados de la ecuación:

$\frac{1}{22} \begin{bmatrix} 1 & 4\\-5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -4\\\5 & 1 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{22} \begin{bmatrix} 1 & 4\\-5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -14 & -14\\-13 & 9 \end{bmatrix}\\\frac{1}{22} \begin{bmatrix} 22 & 0\\0 & 22 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{22} \begin{bmatrix} -66 & 22\\44 & 88 \end{bmatrix}\\\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix} X &= \begin{bmatrix} -3 & 1\\2 & 4 \end{bmatrix}\\X &= \begin{bmatrix} -3 & 1\\2 & 4 \end{bmatrix}$

Ejemplo B

Resuelve la ecuación: $X \begin{bmatrix} -8 & 0\\\7 & 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 96 & 104\\\-60 & 52 \end{bmatrix}$

Solución: En este caso, la matriz de variables, $X$ , se multiplica por otra matriz a su derecha. Debemos encontrar la inversa de $\begin{bmatrix} -8 & 0\\\7 & 13 \end{bmatrix}$ y usarla para multiplicar a la derecha, como se muestra abajo.

$\begin{bmatrix} -8 & 0\\\7 & 13 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{-104} \begin{bmatrix} 13 & 0\\-7 & -8 \end{bmatrix}$

Ahora, multiplica por su inversa a la izquierda de ambos lados de la ecuación:

$X \begin{bmatrix} -8 & 0\\\7 & 13 \end{bmatrix} \frac{1}{-104} \begin{bmatrix} 13 & 0\\ -7 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 96 & 104\\-60 & 52 \end{bmatrix} \frac{1}{-104} \begin{bmatrix} 13 & 0\\ -7 & -8 \end{bmatrix}$

Debido a que multiplicación escalar en conmutativa, podemos mover el factor al final y multiplicar las matrices primero para evitar fracciones.

$X \begin{bmatrix} -8 & 0\\\7 & 13 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 13 & 0\\ -7 & -8 \end{bmatrix} \frac{1}{-104} &= \begin{bmatrix} 96 & 104\\-60 & 52 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 13 & 0\\ -7 & -8 \end{bmatrix} \frac{1}{-104}\\X \begin{bmatrix} -104 & 0\\0 & -104 \end{bmatrix} \frac{1}{-104} &= \begin{bmatrix} 520 & -832\\-1144 & -416 \end{bmatrix} \frac{1}{-104}\\X \begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -5 & 8\\11 & 4 \end{bmatrix}\\X &= \begin{bmatrix} -5 & 8\\11 & 4 \end{bmatrix}$

Resuelve la ecuación: $\begin{bmatrix} 11 & 2\\\-5 & 7 \end{bmatrix} X + \begin{bmatrix} 15 \\\-13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\\13 \end{bmatrix}$

Ejemplo C

Solución: Esta ecuación es un poco diferente. Primero, tenemos una matriz que debemos restar en ambos lados antes de poder multiplicarla por la inversa de $\begin{bmatrix} 11 & 2\\\-5 & 7 \end{bmatrix}.$

$\begin{bmatrix} 11 & 2\\\-5 & 7 \end{bmatrix}X + \begin{bmatrix} 15 \\\-13 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 \\\-13 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 10 \\\13 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 \\\-13 \end{bmatrix} \\\\begin{bmatrix} 11 & 2\\\-5 & 7 \end{bmatrix}X &= \begin{bmatrix} -5 \\\26\end{bmatrix}$

Segundo, $X$ , no es una matriz de $2 \times 2$ ¿Cuáles son las dimensiones de $X$ ? Si multiplicamos una matriz de $2 \times 2$ por una de $2 \times 1$ el resultado será una matriz de $2 \times 1$ por lo tanto $X$ es una matriz $2 \times 1$ Encuentra la inversa de

$\begin{bmatrix} 11 & 2\\\-5 & 7 \end{bmatrix}.$

$\begin{bmatrix} 11 & 2\\\-5 & 7 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{87} \begin{bmatrix} 7 & -2\\\5 & 11 \end{bmatrix}$

Ahora podemos multiplicar a la izquierda en ambos lados de la ecuación y resolver para $X$ .

$\frac{1}{87}\begin{bmatrix} 7 & -2\\\5 & 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 & 2\\\-5 & 7 \end{bmatrix} &= \frac{1}{87} \begin{bmatrix} 7 & -2\\\5 & 11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 \\\26 \end{bmatrix} \\\\frac{1}{87}\begin{bmatrix} 87 & 0\\\0 & 87 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{87} \begin{bmatrix} -87 \\\261 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} 1 & 0\\\0 & 1 \end{bmatrix}X &= \begin{bmatrix} -1\\\3 \end{bmatrix}\\\X &= \begin{bmatrix} -1 \\\3 \end{bmatrix}$

Revisión del Problema Inicial Resuelve la ecuación: $\begin{bmatrix} 10 & 2\\\8 & 4 \end{bmatrix}X = \begin{bmatrix} 130 \\\116 \end{bmatrix}$

Solución: Para aislar la matriz de variables, representada por $X$ , necesitamos eliminar la matriz que multiplica a $X$ en la izquierda. Encuentra la inversa de $\begin{bmatrix} 10 & 2\\\8 & 4 \end{bmatrix}$ y úsala para multiplicar en la izquierda de ambos lados de la ecuación.

$\begin{bmatrix} 10 & 2\\\8 & 4 \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{(10)(4)-(2)(8)} \begin{bmatrix} 4 & -2\\-8 & 10 \end{bmatrix} = \frac{1}{24} \begin{bmatrix} 4 & -2\\-8 & 10 \end{bmatrix}$

Ahora, multiplica por su inversa en la izquierda de ambos lados de la ecuación:

$\frac{1}{24} \begin{bmatrix} 4 & -2\\-8 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 & 2\\\8 & 4 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{24} \begin{bmatrix} 4 & -2\\-8 & 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 130\\116\end{bmatrix}\\\frac{1}{24} \begin{bmatrix} 24 & 0\\0 & 24 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{24} \begin{bmatrix} 288\\120 \end{bmatrix}\\\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix} X &= \begin{bmatrix} 12\\5 \end{bmatrix}\\X &= \begin{bmatrix} 12\\5 \end{bmatrix}$

Por lo tanto, la madera tiene un costo de $12 por yarda y los martillos cuestan $5 cada uno.

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales.

1. $\begin{bmatrix} 2 & -5\\\6 & 1 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} 39\\\37 \end{bmatrix}$

2. $X \begin{bmatrix} -3 & 8\\\-2 & 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 87\\\33 & -88 \end{bmatrix}$

3. $\begin{bmatrix} -1 & 3\\\0 & 5 \end{bmatrix}X - \begin{bmatrix} 11 & 7\\\13 & 21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 15 \\\7 & 14 \end{bmatrix}$

Respuestas

1. Multiplica a la izquierda por la inversa en ambos lados.

$\frac{1}{32} \begin{bmatrix} 1 & 5\\\-6 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -5\\\6 & 1 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{32} \begin{bmatrix} 1 & 5\\\-6 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 39\\\37 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} 1 & 0\\\0 & 1 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{32} \begin{bmatrix} 224\\\-160 \end{bmatrix}\\\X &= \begin{bmatrix} 7\\\-5 \end{bmatrix}$

2. Multiplica a la derecha por la inversa en ambos lados.

$X \begin{bmatrix} -3 & 8\\\-2 & 15 \end{bmatrix} \frac{1}{-29} \begin{bmatrix} 15 & -8\\\2 & -3 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 0 & 87\\\33 & -88 \end{bmatrix} \frac{1}{-29} \begin{bmatrix} 15 & -8\\\2 & -3 \end{bmatrix}\\\X \begin{bmatrix} 1 & 0\\\0 & 1 \end{bmatrix} &= \frac{1}{-29} \begin{bmatrix} 174 & -261\\\319 & 0 \end{bmatrix}\\\X &= \begin{bmatrix} -6 & 9\\\-11 & 0 \end{bmatrix}$

3. Suma la matriz $\begin{bmatrix} 11 & 7\\\13 & 21 \end{bmatrix}$ a ambos lados y luego multiplica a la izquierda por la inversa en ambos lados.

$\begin{bmatrix} -1 & 3\\0 & 5 \end{bmatrix} X - \begin{bmatrix} 11 & 7\\\13 & 21 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 11 & 7\\\13 & 21 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -7 & 15\\7 & 14 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 11 & 7\\\13 & 21 \end{bmatrix}\\\begin{bmatrix} -1 & 3\\0 & 5 \end{bmatrix} X &= \begin{bmatrix} 4 & 22\\20 & 35 \end{bmatrix}\\\frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 5 & -3\\0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3\\0 & 5 \end{bmatrix} X &= \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} 5 & -3\\0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 22\\20 & 35 \end{bmatrix}\\\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}X &= \frac{1}{-5} \begin{bmatrix} -40 & 5 \\-20 & -35 \end{bmatrix}\\X &= \begin{bmatrix} 8 & -1\\4 & 7 \end{bmatrix}$

Práctica

Responde las siguientes preguntas lo mejor que puedas.

Explica los pasos para resolver para la matriz X en la ecuación $AX=B$ si A y B son matrices de.
¿En se parece resolver una ecuaciones matricial y una ecuación lineal? ¿En qué se diferencia?
En la ecuación matricial $XA=B$ , ¿se puede resolver la ecuación para la matriz X si no hay inversa de A ?

Resuelve la matriz desconocida en las siguientes ecuaciones.

$\begin{bmatrix} 2 & -1\\\3 & 5 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} -10 & 4\\\11 & 6 \end{bmatrix}$
$X \begin{bmatrix} 6 & 7\\\11 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 47 & -56\\\81 & 47 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 5 & -10\\\1 & 9 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} 50\\\-23 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2 & 8\\\12 & -7 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} -2 & -76\\\-67 & 204 \end{bmatrix}$
$X \begin{bmatrix} 2 & 9\\\5 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & -2\\\22 & -42 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -9 \\\-77 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2\\\-1 & -6 \end{bmatrix} X$
$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\7 & 2 \end{bmatrix} X + \begin{bmatrix} 2 & 6\\\18 & -12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5\\\5 & 5 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} 2 & -8\\\11 & -5 \end{bmatrix} X - \begin{bmatrix} -14\\\0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -30\\\31 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -3 & -10\\\0 & 1 \end{bmatrix} + X \begin{bmatrix} 2 & -3\\\1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2\\\3 & 4 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} -2 \\\10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 7\\\1 & -2 \end{bmatrix} X - \begin{bmatrix} 12\\\-15 \end{bmatrix}$
$\left(\begin{bmatrix} 2 & -3\\\7 & 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 1\\\-3 & -2 \end{bmatrix}\right) X + \begin{bmatrix} 3 & -1\\\2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -66 & 43\\\-21 & 54 \end{bmatrix}$
$X \left(\begin{bmatrix} 5 & -1\\\2 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -1\\\2 & 2 \end{bmatrix}\right) + \begin{bmatrix} 5 & -2\\\9 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -16\\\11 & 13 \end{bmatrix}$

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