Escribir y Resolver una Ecuación Matricial para un Sistema Lineal

En esta sección, transformarás sistemas de ecuaciones lineales en ecuaciones matriciales y las resolverás usando matrices inversas.

Un día viernes, una heladería vendió 15 conos de helado de chocolate pequeños y 25 extra grandes. También vendió 20 conos de helado de vainilla pequeños y 50 extra grandes. La venta de helados de chocolate durante un día fue de $220 y de helados de vainilla $410. ¿Cuánto cobró la tienda por un cono pequeño y un cono extra grande.

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James Sousa: Using a Matrix Equation to Solve a System of Equations

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Orientación

Mira este sistema:

$3x-5y &= 11\\\7x-y &= 15.$

Realizando una operación inversa, este sistema puede ser escrito como una ecuación matricial:

$\begin{bmatrix} 3 & -5\\\7 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\\ 15 \end{bmatrix}$ donde las variables, $x$ e $y$ son los componentes de una ecuación matricial que podemos resolver usando una inversa, como se muestra a continuación:

$\frac{1}{32} \begin{bmatrix} -1 & 5\\\-7 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & -5 \\\7 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{32} \begin{bmatrix} -1 & 5\\\-7 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 11\\\15 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} 1 & 0\\\0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{32}\begin{bmatrix} 64\\\-32 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2\\\-1 \end{bmatrix}$

En general, cualquier sistema de ecuaciones lineales con dos variable puede ser escrito como una ecuación matricial, la que a su vez puede resolverse usando inversas. Los coeficientes de $x$ e $y$ forman una matriz de $2 \times 2$ y las constantes forman una matriz de $2 \times 1$ .

$ax+by &= e \quad \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} a & b\\\c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e \\\f \end{bmatrix}\\\cx+dy &= f$

Si $A = \begin{bmatrix} a & b \\\c & d \end{bmatrix}, \ X= \begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix} e \\\f \end{bmatrix},$ entonces podemos escribir la ecuación como $AX=B$ . Ahora podemos ver que resulta de multiplicar ambos lados por $A^{-1}$ :

$A^{-1} AX &= A^{-1} B\\\IX &= A^{-1} B\\\X &= A^{-1} B$

Entonces, podemos encontrar la matriz, $X$ , al multiplicar a la izquierda por, $B$ , en la matriz $A^{-1}$ .

Ejemplo A

Resuelve el sistema usando matrices: $3x+4y &= -14\\\-2x + y &= -9$

Solución: Primero, transformemos el sistema en una ecuación matricial:

$\begin{bmatrix} 3 & 4 \\\-2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -14\\\-9 \end{bmatrix}$

Ahora podemos multiplicar a la izquierda en ambos lados por la inversa de la matriz de coeficientes y resolver:

$\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\\2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -14\\\-9 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 22\\\-55 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 2 \\\-5 \end{bmatrix}\\\$

Por ende la solución es (2, -5).

Ejemplo B

Resuelve el sistema usando matrices: $-5x-2y &= 1\\\3x+y &= -2$

Solución: Primero, transformemos el sistema en una ecuación matricial:

$\begin{bmatrix} -5 & -2 \\\3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\\-2 \end{bmatrix}$

Ahora podemos multiplicar a la izquierda en ambos lados por la inversa de la matriz de coeficientes y resolver:

$\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 1 & 2\\\-3 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\\-2 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} &= 1 \begin{bmatrix} -3 \\\7 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -3 \\\ 7 \end{bmatrix}$

Por ende la solución es (-3, 7).

Ejemplo C

Resuelve el sistema usando matrices: $3x-2y &= 3\\\-6x+4y &= 5$

Solución: Primero, transformemos el sistema en una ecuación matricial:

$\begin{bmatrix} 3 & -2 \\\-6 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\\5 \end{bmatrix}$

¿Qué sucede en esta ocasión cuando intentamos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes?

$\frac{1}{0} \begin{bmatrix} 4 & 2 \\\6 & 3 \end{bmatrix}$

No hay inversa, por lo que no hay una sola solución al sistema. Por ende, debemos usar un método alternativo para determinar si hay soluciones infinitas o si no hay solución. Usemos la combinación lineal:

$& \ 2(3x-2y=3) \quad \Rightarrow \ \ \cancel{6x} - 4y = 6\\\& -6x+4y = 5 \qquad \quad \underline{- \cancel{6x} +4y = 5 \; \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ 0=11$

Por lo tanto, no hay solución.

Revisión del Problema Inicial El sistema de ecuaciones representado en esta situación es

$15x + 25y &= 220\\\20x + 50y &= 410$

Solución: Primero, transformemos el sistema en una ecuación matricial:

$\begin{bmatrix} 15 & 25 \\\20 & 50 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 220 \\\410 \end{bmatrix}$

Ahora podemos multiplicar a la izquierda en ambos lados por la inversa de la matriz de coeficientes y resolver:

$\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{250} \begin{bmatrix} 50 & -25\\\-20 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 220\\\410 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{250} \begin{bmatrix} 750 \\\750 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 3 \\\ 7 \end{bmatrix}$

Por lo tanto, la heladería cobra $3 por un cono pequeño y $7 por un cono extra grande.

Práctica Guiada

Resuelve el sistema usando matrices.

1. $2x+y &= -5\\\-3x-2y &= 2$

2. $7x-y &= 8\\\3y &= 21x-24$

3. $4x+5y &= 5\\\-8x+15y &= 5$

Respuestas

1. Transforma a ecuación matricial y resuelve.

$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\\ -3 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -5 \\\2\end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} -2 & -1 \\\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -5 \\\2\end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= -1 \begin{bmatrix} 8\\\-11 \end{bmatrix} \\\\begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} -8 \\\11 \end{bmatrix}$

Por ende la solución es (-8, 11).

2. Primero, reescribe la segunda ecuación como $-21x+3y=-24$ para poder identificar la matriz de coeficientes.

$\begin{bmatrix} 7 & -1 \\\-21 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\\-24 \end{bmatrix},$

Sin embargo $\begin{bmatrix} 7 & -1 \\\ -21 & 3 \end{bmatrix}^{-1}$ no existe. Usando combinación lineal obtenemos:

$& \quad \ 3(7x-y=8) \quad \Rightarrow \quad \ \cancel{21x} -3y =24\\\& -21x +3y =-24 \qquad \ \underline{- \cancel{21x} +3y =-24 \;}\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0=0$

Por lo tanto, existen soluciones infinitas.

3. Transforma a ecuación matricial y resuelve.

$\begin{bmatrix} 4 & 5\\\-8 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 5\\\5 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{100} \begin{bmatrix} 15 & -5\\\8 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\\5 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} &= \frac{1}{100} \begin{bmatrix} 50\\\60 \end{bmatrix}\\\\begin{bmatrix} x\\\y \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}\\\\frac{3}{5} \end{bmatrix}$

Por ende, la solución es $\left( \frac{1}{2} , \frac{3}{5} \right)$ .

Práctica

Resuelve los sistemas de ecuaciones lineales usando matrices.

$2x+13y &= -29\\\4x-3y &= 29$

$3x-7y &= 98\\\-2x+5y &= -69$

$7x-9y &= 31\\\10x+5y &= -45$

$3x-2y &= 1\\\7x-5y &= -2$

$3x-5y &= 2\\\-9x+15y &= 4$

$4x-3y &= -5\\\12x+9y &= -3$

$6x+9y &= -3\\\-5x-7y &= -1$

$x+4y &= 7\\\-2x &= 8y -14$

$x+y &= 45\\\-3x+2y &= -10$

$4x+6y &= 8\\\-9y &= 2x-2$

$2x-y &= -30\\\x+2y &= 10$

$14x-7y &= -1\\\7x+21y &= 10$

$-3x+4y &= 5\\\2x-y &= -10$

$6x-12y &= -18\\\5x-10y &= -15$

Tommy y Max comienzan un negocio de cuidado del césped. Ambos cobran por hora para cortar pasto y recoger hojas secas. Una semana, Tommy cortó pasto por 10 horas y recogió hojas por 6 horas y ganó $114 en total. En la misma semana, Max cortó pasto por 8 horas y recogió hojas por 9 horas y ganó $118,50 en total. Suponiendo que ambos cobran lo mismo por hora, ¿cuánto cobran por hora para cortar pasto? ¿y para recoger hojas?

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