Resolver Sistemas Lineales Usando Matrices y Calculadora

En esta sección, aprenderán cómo usar una calculadora gráfica para resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos y tres variables.

Los clientes de una heladería solicitan que agreguen más tamaños de helados, por lo que la tienda decide probar con conos medianos y grandes. Durante el día de prueba, la tienda vende 24 conos de chocolate medianos y 32 grandes. También vendió 40 conos de vainilla medianos y 60 extra grandes. La venta de helados de chocolate durante el día fue de $292 y de helados de vainilla $525. ¿Cuánto cobró la tienda por un cono pequeño y uno grande?.

Orientación

En esta sección, usaremos la calculadora para encontrar la matriz inversa y realizar una multiplicación de matrices. En secciones anteriores, ya hemos visto como ingresar matrices en la calculadora y multiplicarlas. Para encontrar la inversa de una matriz usando la calculadora, podemos seleccionar la matriz por su nombre y usar la tecla $x^{-1}$ de la calculadora para obtener la inversa de dicha matriz. El Ejemplo A muestra este proceso.

Ahora que ya sabemos cómo obtener la inversa de una matriz usando la calculadora, tratemos de resolver el sistema. Cuando transformamos nuestro sistema en una ecuación matricial, obtenemos la expresión $AX=B$ . De la sección anterior, sabemos que $X=A^{-1}B$ . Podemos ingresar la matriz de coeficientes en la matriz $A$ y las constantes en la matriz $B$ y hacer calcular $A^{-1}B$ con la calculadora.

Ejemplo A

Usa la calculadora para encontrar la inversa de la matriz:

$\begin{bmatrix} -3 & -5 \\\1 & 2 \end{bmatrix}$

Solución: Primero, ingresa la matriz en la calculadora en matrix $[A]$ . Ahora, vuelve a la pantalla de inicio con $2^{nd}$ QUIT Ahora, vuelve al menú MATRIX y selecciona $[A]$ en la lista de NAMES y presiona ENTER. La pantalla principal debería mostrar $[A]$ Luego, presiona $x^{-1}$ para obtener $[A]^{-1}$ y presiona ENTER. El resultado es la matriz inversa

$\begin{bmatrix} -2 & -5 \\\ 1 & 3 \end{bmatrix}.$

$^*$ La calculadora puede encontrar la inversa de cualquier matriz cuadrada.

Ejemplo B

Resuelve el sistema usando matrices en la calculadora:

$10x+6y &= 11\\\-6x+9y &= -15$

Solución: Ingresa $A = \begin{bmatrix} 10 & 6\\\-6 & 9 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 11\\\-15 \end{bmatrix}.$ en la calculadora. Ahora, desde la pantalla de inicio, podemos seleccionar la matriz $A$ (desde NAMES en el menú matriz) y usar el botón $x^{-1}$ para obtener $[A]^{-1}$ en la pantalla principal. Por último, podemos seleccionar la matriz $B$ del menú matriz para obtener $[A]^{-1}[B]$ y presionar ENTER. El resultado de esto es

$\begin{bmatrix} \frac{3}{2}\\\\frac{-2}{3} \end{bmatrix}.$ La solución al sistema es $\left(\frac{3}{2},- \frac{2}{3} \right)$ .

Ejemplo C

Resuelve el sistema usando matrices en la calculadora:

$3x+11y &= 2\\\-9x-33y &= -6$

Solución: Ingresa $A = \begin{bmatrix} 3 & 11 \\\-9 & -33 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 2 \\\-6 \end{bmatrix}.$ en la calculadora. Ahora, desde la pantalla de inicio, podemos seleccionar la matriz $A$ (desde NAMES en el menú matriz) y usar el botón $x^{-1}$ para obtener $[A]^{-1}$ en la pantalla principal. Por último, podemos seleccionar la matriz $B$ del menú matriz para obtener $[A]^{-1}[B]$ y presionar ENTER. El resultado es ERR: SINGULAR MATRIX. Recuerda que una matriz singular no tiene matriz inversa. Este mensaje nos dice que no existe una sola solución a este sistema. Por ende, debemos usar un método alternativo para determinar si hay soluciones infinitas o si no hay solución. Usando combinación lineal, como se muestra abajo, podemos comprobar si el sistema tiene soluciones infinitas o no.

$& 3(3x+11y=2) \quad \Rightarrow \quad \ 9x+33y=6\\\& -9x-33y=-6 \qquad \quad \underline{-9x-33y=-6 \; \; }\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ \ 0=0$

Revisión del Problema Inicial

Resuelve el sistema usando matrices en la calculadora:

$24x+32y &= 292\\\40x+60y &= 525$

La heladería cobra $4,50 por un cono mediano y $5,75 por un cono grande.

Práctica Guiada

1. Encuentra la inversa de $\begin{bmatrix} -2 & 4 & -5 \\\3 & -1 & 4 \\\7 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ usando tu calculadora.

Resuelve el sistema usando matrices en la calculadora.

2. $2x+3y &= 13\\\-6x-7y &= -21$

3. $3x-5y+z &= -24\\\-4x+3y-2z &= 9\\\7x+y-3z &= -30$

Respuestas

1. $\begin{bmatrix} -2 & 4 & -5 \\\ 3 & -1 & 4 \\\ 7 & 2 & 1 \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix} -\frac{9}{53} & -\frac{14}{53} & \frac{11}{53} \\\ \frac{25}{53} & \frac{33}{53} & -\frac{7}{53} \\\ \frac{13}{53} & \frac{32}{53} & -\frac{10}{53} \end{bmatrix}$

La calculadora convertirá todos los valores de la matriz en fracciones. Presiona MATH y ENTER para elegir $1: >FRAC$ .

2. Ingresa $A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\\-6 & -7 \end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix} 13 \\\-21 \end{bmatrix}.$ Usando la calculadora $A^{-1}B=\begin{bmatrix} -7 \\\9 \end{bmatrix}.$ Por ende, la solución es (-7, 9).

3. Ingresa $A=\begin{bmatrix} 3 & -5 & 1 \\\-4 & 3 & -2 \\\7 & 1 & -3 \end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix} -24 \\\9 \\\ -30 \end{bmatrix}.$ Usando la calculadora $A^{-1}B=\begin{bmatrix} -2 \\\5 \\\ 7 \end{bmatrix}.$ Por ende, la solución es (-2, 5, 7).

Problemas

Usa la calculadora para encontrar la inversa de cada matriz.

$\begin{bmatrix} 2 & -3 \\\ 8 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -6 & 8 \\\ -3 & 2 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\\ 3 & 5 & 0 \\\ -4 & 1 & 6 \end{bmatrix}$

Resuelve el sistema usando matrices y una calculadora.

$2x+y &= -1\\\-3x-2y &= -3$

$2x+10y &= 6\\\x+11y &= -3$

$-3x+y &= 17\\\2x-3y &= -23$

$10x-5y &= 9\\\2.5y &= 5x +4$

$4x-3y &= -12\\\7x &= 2y+5$

$2x+5y &= 0\\\-4x+10y &= -12$

$7x+2y+3z &= -12\\\-8x-y + 4z &= -6\\\-10x+3y+5z &= 1$

$2x-4y+11z &= 18\\\-3x+5y-13z &= -25\\\5x+10y+10z &= 5$

$8x+y-4z &= 4\\\-2z-3y+4z &= -7\\\4 x+5y-8z &= 11$

Para los siguientes problemas escritos, plantear un sistema de ecuaciones lineales y resuelve usando matrices.

Un mix de 1 libra de almendras y 1,5 libras de castañas cuesta $15. Un mix de 2 libras de almendras y 1 libra de castañas cuesta $17. ¿Cuánto cuesta cada libra de almendras y castañas?
María, Rebecca y Sally están vendiendo dulces horneados para su club de matemática. María vendió 15 galletas, 20 brownies y 12 cupcakes, recolectó $23,50. Rebeca vendió 22 galletas, 10 brownies y 11 cupcakes, recolectó $19,85. Sally vendió 16 galletas, 5 brownies y 8 cupcakes, recolectó $13,30. ¿Cuánto cobraron por cada galleta, brownie y cupcake?
Justin, Mark y George van a la feria a comprar frutas. Justin compra 2 libras de manzanas, 3 libras de peras y 1 libra de duraznos por $13,24. Mark compra 1 libra de manzanas, 2 libras de peras y 3 libras de duraznos por $13,34. George compra 3 libras de manzanas, 1 libra de peras y 2 libras de duraznos por $14,04. ¿Cuánto costó cada libra de cada fruta?

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