Factoriza Cuando el Coeficiente Principal es Igual a 1

Factoriza Cuando el Coeficiente Principal es Igual a 1 a = 1.

El área de un rectángulo es $x^2-3x-28$ . ¿Cuál es el largo y el ancho del rectángulo?

Mira Esto

Mira los primeros ejemplos que aparecen en este video hasta el minuto 12:40.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

Khan Academy: Factoring Quadratic Expressions

Orientación

Una ecuación cuadrática tiene la forma $ax^2+bx+c$ , donde $a \ne 0$ (Si $a = 0$ , entonces la ecuación es linear). Para todas las ecuaciones cuadráticas, el 2 es el único y mayor exponente. Una ecuación cuadrática puede también llamarse , trinomio siempre y cuando los tres componentes estén presentes.

Existen cuatro formas de resolver una ecuación cuadrática La más simple es la factorización . En esta sección, nos centraremos en factorizar cuando $a = 1$ o cuando no haya un número adelante de $x^2$ . Primero, comenzaremos con un repasó de la multiplicación de dos factores.

Ejemplo A

Multiplique $(x+4)(x-5)$ .

Solución: Aunque estamos en presencia de una ecuación cuadrática, el producto de estos dos factores lo será. Recuerda que en las clases anteriores vimos que un factor es un número que es divisor de un número más grande. Por ejemplo, el 4 y el 5 son factores del 20. Entonces, para determinar el número en el cual están contenidos $(x + 4)$ y $(x-5)$ necesitamos multiplicarlos entre sí. Uno de los métodos para multiplicar dos polinomios entre sí es el método PIES. Para hacer esto, debes multiplicar los términos PRIMEROS, los términos INTERIORES, los términos EXTERIORES y luego los términos SEGUNDOS.

Esto es $(x+4)(x-5)=x^2-x-20$ . También podríamos decir que $(x+4)$ Y $(x-5)$ son factores de $x^2-x-20$ .

Más Orientación

Ahora, aprenderemos a "deshacer" la multiplicación de dos factores mediante el proceso de factorización. En esta sección, solo veremos ecuaciones cuadráticas de este tipo: $x^2+bx+c$ , o cuando $a = 1$ .

Estudio: Factorizar

1. Del ejercicio anterior aprendimos que $(x+m)(x+n)=x^2+bx+c$ .

Aplica el método PIES $(x+m)(x+n)$ .

$(x+m)(x+n) \Rightarrow x^2+\underbrace{nx+mx}_{bx}+\underbrace{mn}_{c}$

2. Esto nos muestra que el término constante o $c$ , es igual al producto producto de los números constantes que se encuentran dentro de cada factor. También se observa que el coeficiente que se encuentra delante de $x$ , o $b$ , es igual a la suma de estos números.

3. Agrupa los primeros dos términos y los últimos dos. Encuentra el Máximo Común Divisor o MCD para cada caso.

$& (x^2+nx)+(mx+mn)\\\& x(x+n)+m(x+n)$

4. Nota que lo que se encuentra delante de cada paréntesis en el Paso 3 es igual. El número, $(x + n)$ , es el MCD de $x(x + n)$ y $m(x + n)$ . Puedes simplificar y sacar los paréntesis para que quede $x + m$ .

$& x(x+n)+m(x+n)\\\& (x+n)(x+m)$

Ahora que te hemos mostrado como pasar de la multiplicación usando

Ejemplo B

Factor $x^2+6x+8$ .

Solución: Usemos lo aprendido para ayudarnos.

$x^2+6x+8=(x+m)(x+n)$

Entonces, según el Paso 2, $b$ será igual a la suma entre $m$ y $n$ asimismo $c$ será igual al producto de estos dos. Aplíquese esto a nuestro problema, $6 = m + n$ y $8 = mn$ . Para organizar esto, use una “ $X$ ”. Ponga la suma arriba y el producto abajo.

El par verde que se muestra arriba es el único que resulta también en 6. Ahora, pasemos al Paso 3 de nuestra investigación. Debemos rescribir el término $x-$ o el $b$ , como una suma entre $m$ y $n$ .

$& \quad \ x^2+{\color{red}6x}+8\\\& \qquad \quad {\color{red} \swarrow}{\color{red} \searrow}\\\& x^2+{\color{red}4x+2x}+8\\\& (x^2+4x)+(2x+8)\\\& x(x+4)+2(x+4)$

Ya en el Paso 4, observamos que el término $(x + 4)$ es el mismo. Simplifícalo y el ejercicio está terminado.

Por lo tanto, los factores de $x^2+6x+8$ are $(x+4)(x+2)$ . Puedes aplicar el método PIES para comprobar tu respuesta.

Ejemplo C

Factor $x^2+12x-28$ .

Solución: Podemos resolver este problema de la misma manera en la que lo hicimos en el Ejemplo 2. Esta vez, no utilizaremos la “ $X$ .” ¿Cuáles son los factores de -28 que también suman 12? Hagamos un lista y observemos:

$-4 \cdot 7, 4 \cdot -7, 2 \cdot -14, {\color{red}-2 \cdot 14}, 1 \cdot -28, -1 \cdot 28$

El par ${\color{red}\mathbf{red}}$ que se observa anteriormente es el que sirve. Nótese que solo colocamos los factores del 28 negativo .

$& \ \ x^2+{\color{red}12x}-28\\\& \qquad \ \ {\color{red} \swarrow}{\color{blue} \searrow}\\\& x^2{\color{red}-2x+14x}-28\\\& (x^2-2x)+(14x-28)\\\& x(x-2)+14(x-2)\\\& (x-2)(x+14)$

Hasta ahora, deberías estar preguntándote lo siguiente:

¿Importa que término $x-$ se coloca primero? NO, el orden no importa. En el ejemplo anterior, podríamos haber puesto $14x$ seguido de $-2x$ . Habríamos llegado a la misma respuesta.
2. ¿Puedo saltarme las partes "extendidas" del ejercicio? La respuesta es SÍ y NO. Sí, siempre y cuando $a = 1$ No, si $a \ne 1$ (la próxima sección). Si $a = 1$ , entonces $x^2+bx+c=(x+m)(x+n)$ de manera tal que $m + n = b$ y $mn = c$ . Considéralo un método más rápido.

Ejemplo D

Factor $x^2-4x$ .

Solución: Este es el ejemplo de una ecuación cuadrática la cual no es un trinomio, ya que solo cuenta con dos términos; también llamado binomio . No está presente la $c$ , o el término constante. Para realizar la factorización en este caso, debemos buscar el MCD. Para este caso, el número más alto que podemos obtener de ambos términos es $x$ .

$x^2-4x=x(x-4)$

Por lo tanto, los factores son $x$ y $x-4$ .

Revisemos el problema planteado en la Introducción Recordemos que el área de un rectángulo es $A = lw$ , donde l es el largo w el ancho. Para hallar el largo y el ancho, podemos factorizar el área $x^2-3x-28$ .

¿Qué factores de -28 suman -3? Probando con las distintas posibilidades, encontramos que $-7 \cdot 4 = -28$ y $-7 + 4 = -3$ .

Por lo tanto, al factorizar, $x^2-3x-28$ quedamos con $(x - 7)(x + 4)$ , uno de estos factores equivale al largo del rectángulo, mientras que el otro equivale al ancho.

Práctica Guiada

1. Multiplica $(x-3)(x + 8)$ .

Si es posible, factoriza las siguientes ecuaciones cuadrática.

2. $x^2-9x+20$

3. $x^2+7x-30$

4. $x^2+x+6$

5. $x^2+10x$

Respuestas

Usando el PIES para multiplicar los factores entre sí, obtenemos:

$(x-3)(x+8)= x^2+8x-3x-24 = x^2+5x-24$

2. Usando la “ $X$ ,” obtenemos:

Utilizando este método obtenemos , $-4 + -5 = -9$ y $-4 \cdot -5 = 20$ .

$x^2-9x+20=(x-4)(x-5)$

3. Hagamos una lista de todos los factores de -30 y de sus sumas. Las sumas están en rojo.

$-10 \cdot 3 \ {\color{red}(-7)}, -3 \cdot 10 \ {\color{red}(7)}, -2 \cdot 15 \ {\color{red}(13)}, -15 \cdot 2 \ {\color{red}(-13)}, -1 \cdot 30 \ {\color{red}(29)}, -30 \cdot 1 \ {\color{red}(-29)}$

De aquí podemos deducir que los factores de -30 que suman 7 son el -3 y el 10. $x^2+7x-30 = (x-3)(x+10)$

4. No hay factores de 6 que sumen 1. Si hubiéramos tenido -6, entonces el trinomio podría haberse factorizado. Pero, como vemos, este no es un trinomio factorizable.

5. Lo único que se puede hacer es calcular el MCD. $x^2+10x=x(x+10)$

Vocabulario

Ecuación cuadrática: Una ecuación cuyo mayor exponente es 2 y tiene forma $ax^2+bx+c$ , $a \ne 0$ .

Trinomio: Una ecuación cuadrática que consta de tres términos.

Binomio: Una ecuación cuadrática que consta de dos términos.

Factorizar: Una forma de simplificar una ecuación cuadrática en factores más pequeños.

Factor: Un número el cual es divisor de uno más grande.

PIES: Método que se usa para multiplicar dos factores. Se multiplican los PRIMEROS términos, los INTERNOS, los EXTERNOS y los SEGUNDOS para después combinar los términos semejantes.

Coeficiente: El número que está delante de una variable.

Constante: Un número que se suma o se resta dentro de la ecuación.

Práctica

Multiplica los factores a continuación.

$(x+2)(x-8)$
$(x-9)(x-1)$
$(x+7)(x+3)$

Factoriza las ecuaciones cuadrática a continuación. Si la factorización no es posible, escribe no se puede factorizar . Puedes usar ambos métodos descritos en los ejemplos.

$x^2-x-2$
$x^2+2x-24$
$x^2-6x$
$x^2+6x+9$
$x^2+8x-10$
$x^2-11x+30$
$x^2+13x-30$
$x^2+11x+28$
$x^2-8x+12$
$x^2-7x-44$
$x^2-8x-20$
$x^2+4x+3$
$x^2-5x+36$
$x^2-5x-36$
$x^2+x$

Desafio: Llena la $X$ a continuación con los números correctos.