Factorizar Cuando el Coeficiente Principal no es Igual a 1

En esta sección aprenderás como factorizar una ecuación cuadrática de forma estándar expandiendo el término x

El área de un cuadrado $9x^2 + 24x + 16$ . ¿Cuáles serán entonces las dimensiones del cuadrado?

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James Sousa: Ex: Factor Trinomials When A is NOT Equal to 1 - Grouping Method

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Cuando colocamos un número delante del término $x^2$ la factorización se torna un poco más compleja. Seguiremos usando lo aprendido en la sección anterior, sin embargo no podremos usar el método más rápido. Primero, probemos usar el PIES cuando los coeficientes delante de los términos $x-$ son distintos de 1.

Ejemplo A

Multiplica $(3x-5)(2x + 1)$

Solución: Aún podemos aplicar el método PIES.

PRIMEROS $3x \cdot 2x = 6x^2$

EXTERNOS $3x \cdot 1 = 3x$

INTERNOS $-5 \cdot 2x = -10x$

SEGUNDOS $-5 \cdot 1 = -5$

Si combinamos todos los términos, obtenemos: $6x^2+3x-10x-5 = 6x^2-7x-5$ .

Esta vez realizaremos el trabajo a la inversa por lo que factorizaremos un trinomio con el fin de obtener dos factores. Recuerda que puedes comprobar tu ejercicio mediante la multiplicación de los factores resultantes.

Ejemplo B

Factor $6x^2-x-2$ .

Solución: Este trinomio es factorizable. Cuando existe un coeficiente delante de $x^2$ , debes seguir todos los pasos de lo estudiado en la sección anterior; sin acudir a métodos que agilicen el trabajo. Además, $m$ y $n$ ya no tienen como producto a $c$ y a una suma de $b$ . Esto no toma en cuenta el coeficiente de $x^2$ Lo que se necesita es multiplicar $a$ y $c$ (de $ax^2+bx+c$ ) para después encontrar los dos números cuyo producto es $ac$ y cuya suma es $b$ . Utilicemos la $X$ para ayudar a organizarnos.

Ahora podemos ver que necesitamos los dos factores de -12 que a su vez suman -1.

Factores	Suma
$-1, 12$	11
1, -12	-11
2, -6	-4
-2, 6	4
${\color{red}3, -4}$	${\color{red}-1}$
-3, 4	1

Los factores que podemos usar son 3 y -4. Ahora, utilicemos estos factores y rescribamos el término $x-$ de manera ampliada utilizando el 3 y el -4 (Paso 3 del estudio de la sección anterior).

$& \quad \ 6x^2 {\color{red}-x}-2\\\& \qquad \ \ {\color{red} \swarrow}{\color{red} \searrow}\\\& 6x^2{\color{red}-4x+3x}-2$

Luego, agrupemos los dos primeros términos con los dos últimos y despejemos los factores comunes.

$& (6x^2-4x)+(3x-2)\\\& 2x(3x-2)+1(3x-2)$

Al igual que en lo estudiado, lo que se encuentra dentro del paréntesis es lo mismo. . Estamos en la presencia de dos términos que tienen $(3x-2)$ como factor. Despéjalo.

Los factores de $6x^2-x-2$ son $(3x-2)(2x + 1)$ . Puedes multiplicar con el método PIES para comprobar la ecuación.

Ejemplo C

Factoriza $4x^2+8x-5$ .

Solución: Hagamos los pasos del Ejemplo 2 un poco más concisos.

1. Encuentra $ac$ y los factores de este número que sumen $b$ .

$4 \cdot -5=-20$ Los factores de -20 que suman 8 son 10 y -2.

2. Rescribe el trinomio con el término $x-$ ampliado, usando los dos factores del Paso 1.

$& \quad \ 4x^2+{\color{red}8x}-5\\\& \qquad \quad \ {\color{red} \swarrow}{\color{red} \searrow}\\\& 4x^2+{\color{red}10x-2x}-5$

3. Agrupa los primeros dos términos con los dos segundos. Encuentra el MCD y vuelve a factorizar.

$& (4x^2+10x)+(-2x-5)\\\& 2x(2x+5)-1(2x+5)\\\& (2x+5)(2x-1)$

Método Alternativo : ¿Qué ocurre si colocamos $-2x$ antes de $10x$ en el Paso 2?

$& 4x^2-2x+10x-5\\\& (4x^2-2x)(10x-5)\\\& 2x(2x-1)+5(2x-1)\\\& (2x-1)(2x+5)$

Esto nos demuestra que no importa qué término $x-$ colocamos primero en el Paso 2.

Ejemplo D

Factoriza $12x^2-22x-20$ .

Solución: Utilicemos ahora los pasos del Ejemplo 3, pero con la diferencia de que añadiremos un paso al comienzo.

1. Busca todos los factores comunes. Calcula el MCD de los 3 términos para determinar si existe uno.

$12x^2-22x-20 = 2(6x^2-11x-10)$

Esto te facilitará mucho más la factorización de lo que se encuentra dentro del paréntesis.

2. Utilizando lo que se encuentra dentro del paréntesis, encuentra $ac$ y determina los factores que suman $b$ .

$6 \cdot -10 = -60 \ {\color{red}\rightarrow -15 \cdot 4 = -60}, \ -15+4=-11$

Los factores de -60 que suman -11 son -15 y 4.

3. . Rescribe el trinomio con el término $x-$ ampliado, usando los dos factores del Paso 2.

$& 2(6x^2{\color{red}-11x}-10)\\\& 2(6x^2 {\color{red}-15x+4x}-10)$

4. Agrupa los primeros y segundos dos términos, determina el MCD y luego vuelve a factorizar.

$& 2(6x^2-15x+4x-10)\\\& 2 \left[(6x^2-15x)+(4x-10)\right]\\\& 2 \left[ 3x(2x-5)+2(2x-5)\right]\\\& 2(2x-5)(3x+2)$

Revisión del Problema Introductorio Las dimensiones de un cuadrado son su ancho y alto, por lo que necesitamos factorizar el área $9x^2 + 24x + 16$ .

Necesitamos multiplicar $a$ y $c$ (de $ax^2+bx+c$ ) y después encontrar dos números cuyo producto sea $ac$ y cuya suma sea $b$ .

Ahora podemos observar que necesitamos los dos factores de 144 y cuya suma sea 24. Al analizar las posibilidades, encontramos que $12 \cdot 12 = 144$ y $12 + 12 = 24$ .

Ahora con estos dos factores procede a rescribir el término $x-$ ampliándolo y usando12 y 12.

$& \quad \ 9x^2 {\color{red}+24x}+16\\\& \qquad \ \ {\color{red} \swarrow}{\color{red} \searrow}\\\& 9x^2{\color{red}+12x+12x}+16$

Luego, agrupa los primeros dos términos y haz lo mismo con los segundos. Luego despeja todos los factores comunes.

$& (9x^2+12x)+(12x+16)\\\& 3x(3x+4)+4(3x+4)$

Ahora tenemos dos términos que tienen como factor $(3x+4)$ Despéjalo.

Los factores de $9x^2+24x+16$ son $(3x + 4)(3x + 4)$ , los cuales también equivalen a las dimensiones del cuadrado.

Práctica Guiada

1. Multiplica $(4x-3)(3x + 5)$ .

Factoriza las siguientes ecuaciones:

2. $15x^2-4x-3$

3. $3x^2+6x-12$

4. $24x^2-30x-9$

5. $4x^2+4x-48$

Respuestas

1. Multiplica con el método PIES: $(4x-3)(3x + 5) = 12x^2 +20x-9x-15 = 12x^2+11x-15$

2. Multiplica con el método PIES: $ac$ que sumen $b$ .

$15 \cdot -3 = -45$ Los factores de -42 cuya suma es -4 son -9 y 5.

$& 15x^2 {\color{red}-4x}-3\\\& (15x^2 {\color{red}-9x)}+({\color{red}5x}-3)\\\& 3x(5x-3)+1(5x-3)\\\& (5x-3)(3x+1)$

3.El MCD de $3x^2+6x-12$ es 3. Al despejarlo, nos queda $3(x^2+2x-6)$ . No hay un número delante de $x^2$ , así que debemos determinar si existen factores de -6 cuya suma sea 2. No los hay, por lo que este trinomio no es factorizable.

4. $24x^2-30x-9$ también tiene un MCD, este es 3. Si lo despejamos, nos queda $3(8x^2-10x-3)$ . $ac = -24$ . Los factores de -24 cuya suma es -10 son -12 y 2.

$& 3(8x^2{\color{red}-10x}-3)\\\& 3 \left[(8x^2{\color{red}-12x})+({\color{red}2x}-3)\right]\\\& 3 \left[ 4x(2x-3)+1(2x-3)\right]\\\& 3(2x-3)(4x+1)$

5.El MCD de $4x^2+4x-48$ es 4. Si lo despejamos, nos queda $4(x^2+x-12)$ . Este trinomio no tiene un número delante de $x^2$ , por lo que podemos usar el método visto en la sección anterior el cual nos ayuda a agilizar el proceso. ¿Cuáles son los factores de -12 cuya suma es 1?

$& 4(x^2+x-12)\\\& 4(x+4)(x-3)$

Práctica

Multiplica las siguientes expresiones:

$(2x-1)(x + 5)$
$(3x + 2)(2x-3)$
$(4x + 1)(4x-1)$

Factoriza las ecuaciones cuadrática a continuación. Si no se pueden factorizar, escribe a un lado no se puede factorizar . No olvides buscar los MCD primero.

$5x^2+18x+9$
$6x^2-21x$
$10x^2-x-3$
$3x^2+2x-8$
$4x^2+8x+3$
$12x^2-12x-18$
$16x^2-6x-1$
$5x^2-35x+60$
$2x^2+7x+3$
$3x^2+3x+27$
$8x^2-14x-4$
$10x^2+27x-9$
$4x^2+12x+9$
$15x^2+35x$
$6x^2-19x+15$
Factoriza $x^2-25$ . ¿Qué es $b$ ?
Factoriza $9x^2-16$ . ¿Qué es $b$ ? ¿Qué tipos de números son $a$ y $c$ ?

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