Factorización de Ecuaciones cuadrática Particulares

En esta sección aprenderás a factorizar cuadrados de trinomios perfectos y la diferencia de los cuadrados.

El tiempo total, en horas, que le toma a un remador subir un canal, volverse y llegar al punto de inicio es $18x^2 = 32$ . ¿Cuánto se demora en hacer el viaje completo?

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Khan Academy: U09_L2_TI_we1 Factoring Special Products 1

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James Sousa: Factoring a Difference of Squares

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Orientación

Existen un grupo especial de cuadráticas que, al factorizarse, presentan un patrón.

Estudio: Multiplicación del Cuadrado de Binomio.

1. Rescribe $(a+b)^2$ como el producto de dos factores. Desarrolla $(a+b)^2$ . $(a+b)^2=(a+b)(a+b)$

2. Multiplica la respuesta obtenida en el Paso 1 usando el método PIES. Este es un cuadrado de trinomio perfecto. $a^2+2ab+b^2$

3. $(a-b)^2$ también tiene como producto un cuadrado de trinomio perfecto. $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

4. Aplica la fórmula vista anteriormente para factorizar $9x^2-12x+4$ . Primero encuentra $a$ y $b$ .

$a^2 &=9x^2, \ b^2=4\\\a &=3x, \quad b=2$

5. Ahora, agrega $a$ y $b$ a la fórmula correspondiente.

$(3x-2)^2 & = (3x)^2 - 2(3x)(2)+2^2\\\& = 9x^2-12x+4$

Estudio: Multiplica (a + b)(a - b)

1. Multiplica con el método PIES $(a-b)(a+b)$ .

$(a-b)(a+b) &= a^2+ab-ab-b^2\\\&= a^2-b^2$

2. Estamos en presencia de una diferencia entre cuadrados. La factorización de la diferencia entre cuadrados siempre será $(a + b)(a-b)$ .

3. Aplica la fórmula vista anteriormente para factorizar $25x^2-16$ . Primero, encuentra $a$ y $b$ .

$a^2 &=25x^2, \ b^2=16\\\a &=5x, \quad \ \ b=4$

4. Ahora, agrega $a$ y $b$ a la fórmula correspondiente. $(5x-4)(5x+4)=(5x)^2-4^2$

$^{**}$ Es importante destacar que si olvidas estas fórmulas o no quieres usarlas, puedes factorizar todas estas ecuaciones de la misma manera que lo hiciste en las secciones anteriores.

Ejemplo A

Factoriza $x^2-81$ .

Solución: Utilizando la fórmula del estudio anterior, debemos encontrar primero los valores de $a$ y $b$ .

$& x^2-81 = a^2-b^2\\\& a^2=x^2, \ b^2=81\\\& \ a=x, \quad \ b=9$

Ahora, al agregar $x$ y 9 a la fórmula, obtenemos $x^2-81 = (x-9)(x+9)$ . Para encontrar $a$ y $b$ , calculamos la raíz cuadrada de cada número. Recuerda que la raíz cuadrada es un número que, al multiplicarse por sí mismo, tiene como producto otro número. Este número resultante es llamado cuadrado perfecto. .

Método Alternativo

Rescribe $x^2-81$ con tal que el término del medio este presente. $x^2+0x-81$

Utilizando el método aprendido en las dos secciones anteriores, ¿Cuáles son los dos factores de -81 cuya suma es 0? 9 y -9.

Por lo tanto, los factores son $(x-9)(x + 9)$ .

Ejemplo B

Factoriza $36x^2+120x+100$ .

Solución: Primero, busca el MCD.

$4(9x^2+30x+25)$

Ahora, comprueba que la ecuación cuadrática vista anteriormente calza en la fórmula del cuadrado de trinomio perfecto.

$a^2 &= 9x^2 \qquad \quad \quad b^2 = 25 \\\\sqrt{a^2} &= \sqrt{9x^2} \qquad \ \sqrt{b^2} = \sqrt{25} \qquad \quad \quad 2ab=30x\\\a &=3x \qquad \qquad \quad b=5 \qquad \quad \ 2(3x)(5)=30x$

Ahora, comprueba que la ecuación cuadrática vista anteriormente calza en la fórmula del cuadrado de trinomio perfecto. $a$ y $b$ la factorización de la ecuación es $4(3x + 5)^2$ . Si no factorizaste el 4 al comienzo, la formula dará resultado de igual forma $a$ será igual a $6x$ y $b$ será igual a 10 , por lo que los factores serán $(6x + 10)^2$ . Si haces el desarrollo y encuentras el MCD, obtendrás $(6x+10)^2=(6x+10)(6x+10)=2(3x+5)2(3x+5)=4(3x+5)^2$ .

Método Alternativo

Primero, encuentra el MCD $4(9x^2+30x+25)$

Luego, encuentra $ac$ y, consecutivamente, desarrolla $b$ $9 \cdot 25 = 225$ , los factores de 225 cuya suma es 30 son 15 y 15.

$& 4(9x^2+{\color{blue}30x}+25)\\\& 4(9x^2+{\color{blue}15x+15x}+25)\\\& 4 \left[(9x^2+15x)+(15x+25) \right]\\\& 4 \left[3x(3x+5)+5(3x+5) \right]\\\& 4(3x+5)(3x+5) \ or \ 4(3x^2+5)$

Una vez más, observa que si es que no usaste la formula que aparece en esta sección, aún te serpa posible factorizar y llegar a la solución correcta..

Ejemplo C

Factoriza $48x^2-147$ .

Solución: A primera vista, esta operación no parece una diferencia entre cuadrados. 48 y 147 son cuadrados, pero si le quitamos un 3 a cada uno, obtenemos $3(16x^2-49)$ . 16 y 49 son ambos cuadrados, por lo tanto ahora sí podemos aplicar la fórmula.

$16x^2 &=a^2 \qquad 49=b^2\\\4x &=a \qquad \quad 7=b$

Los factores son $3(4x-7)(4x+7)$ .

Revisión del Problema Introductorio $18x^2 = 32$ puede rescribirse como $18x^2-32 = 0$ , por lo tanto, factoriza $18x^2-32$ .

Primero, debemos despejar el máximo común divisor de 2. Luego, obtenemos $2(9x^2-16)$ . 9 y 16 son ambos cuadrados, por lo tanto ahora podemos usar la fórmula.

$9x^2 &=a^2 \qquad 16=b^2\\\3x &=a \qquad \quad 4=b$

Los factores son $2(3x-4)(3x+4)$ .

Finalmente, para encontrar el tiempo, iguala estos factores a 0 y resuelve $2(3x-4)(3x+4) = 0$ .

Ya que x está presente en todo momento, se asume que esta es positiva. Solo $(3x-4) = 0$ resulta tener un valor positivo para x .

$x = \frac{4}{3} = 1.3333$ Por lo tanto, el viaje de vuelta le toma al remador 1,3333 horas.

Te encontraras con problemas de este tipo en la siguiente lección.

Práctica Guiada

Factoriza las siguientes ecuaciones cuadrática.

1. $x^2-4$

2. $2x^2-20x+50$

3. $81x^2+144+64$

Respuestas

1. $a = x$ y $b = 2$ . Por lo tanto, $x^2-4=(x-2)(x+2)$ .

2. Descompone el MCD (2) en factores. $2(x^2-10x+25)$ . Obtenemos un cuadrado de trinomio perfecto con $a = x$ y $b = 5$ .

$2(x^2-10x+25)=2(x-5)^2.$

3. Este es un cuadrado de trinomio perfecto y no factores comunes. Resuélvelo para obtener $a$ y $b$ .

$81x^2 &=a^2 \qquad 64=b^2\\\9x &=a \qquad \quad 8=b$

Los factores son $(9x + 8)^2$ .

Vocabulario

Cuadrado de Trinomio: Una ecuación cuadrática de forma $a^2+2ab+b^2$ or $a^2-2ab+b^2$ .

Diferencia de Cuadrados: Una ecuación cuadrática de forma $a^2-b^2$ .

Raíz Cuadrada: Un número que, al multiplicarse por sí mismo, produce otro número. 3 es la raíz cuadrada de 9. .

Cuadrado Perfecto: Un número cuya raíz cuadrada es un número entero. 25 es un cuadrado perfecto.

Práctica

Haz un listado de los cuadrados perfectos menores de 200.
¿Según tú, por qué no existe una formula para la sum of squares formula?

Factoriza las ecuaciones a continuación:

$x^2-1$
$x^2+4x+4$
$16x^2-24x+9$
$-3x^2+36x-108$
$144x^2-49$
$196x^2+140x+25$
$100x^2+1$
$162x^2+72x+8$
$225-x^2$
$121-132x+36x^2$
$5x^2+100x-500$
$256x^2-676$
Análisis de Errores A Spencer se le presenta el problema a continuación: Multiplica $(2x-5)^2$ . Esto es lo que hizo:

$(2x-5)^2=(2x)^2-5^2=4x^2-25$

Su profesor le dice que la respuesta es $4x^2-20x+25$ . ¿Cuál fue el error que cometió Spencer? Describe su error y corrige el problema.

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