Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Mediante la Factorización

En esta sección aprenderás a resolver ecuaciones cuadrática factorizables por $x$ .

La altura de una pelota que es lanzada de forma recta hacia arriba desde una altura de 2 metros sobre el suelo con una velocidad de 9 metros por segundo es dada por la siguiente ecuación $h = -5t^2 + 9t + 2$ , donde t es el tiempo en segundos. ¿Cuánto demora la pelota en tocar el suelo?

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Orientación

En esta sección, no hemos resuelto aún para encontrar $x$ . Ahora, aplicaremos la factorización para resolver una ecuación cuadrática. Se añadirá un paso extra al final de lo que ya haz estado haciendo. Veamos un ejemplo.

Ejemplo A

Resuelve $x^2-9x+18=0$ usando la factorización.

Solución: La única diferencia entre este problema y los de las secciones anteriores es la presencia del signo $=$ Ya teniendo esto en cuenta, resolvamos para encontrar $x$ . Aún podemos usar el mismo método de factorización que hemos estado usando. Ya que $a = 1$ ,determina los dos factores de 18 cuya suma es -9.

$x^2-9x+18 &= 0\\\(x-6)(x-3) &= 0$

Ahora, tenemos dos factores que, al multiplicarse, su producto es 0. Recuerda que cuando dos números se multiplican y uno de ellos es cero, el producto siempre será cero.

Propiedad del Cero como Producto: Si $ab = 0$ , entonces $a = 0$ o $b = 0$ .

Esto quiere decir que $x-6 = 0$ O $x-3 = 0$ . Por lo tanto, $x = 6$ o $x = 3$ . El número de soluciones y de factores siempre será el mismo.

Comprueba tu respuesta:

$6^2-9(6)+18 &=0 \quad or \quad 3^2-9(3)+18=0\\\36-54+18 &=0 \qquad \quad \quad 9-27+18=0$

Ejemplo B

Resuelve $6x^2+x-4=11$ usando la factorización.

Solución: : A primera vista, puede parecerte que esto no es factorizable. Sin embargo, antes de factorizar, debemos combinar los términos semejantes. Además, la Propiedad del Cero como Producto nos dice que, para encontrar los factores, un lado de la ecuación debe ser cero.

$& \ 6x^2+x-4 = \bcancel{11}\\\& \underline{\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; -11 = - \bcancel{11} \; \;}\\\& 6x^2+x-15=0$

Ahora, factoriza. El producto de $ac$ es -90. ¿Cuáles son los factores de -90 cuya suma es 1? 10 y -9. Desarrolla el término $x-$ factoriza.

$6x^2+x-15 &= 0\\\6x^2-9x+10x-15 &= 0\\\3x(2x-3)+5(2x-3) &= 0\\\(2x-3)(3x+5) &= 0$

Finalmente, iguala cada factor a cero y resuelve.

$2x-3 &=0 \qquad \ 3x+5 = 0\\\2x &=3 \quad or \quad \quad 3x=-5\\\x &=\frac{3}{2} \qquad \qquad x=-\frac{5}{3}$

Comprueba tu ejercicio.

$6 \left(\frac{3}{2}\right)^2 +\frac{3}{2}-4 &= 11 \qquad \ \ 6 \left(- \frac{5}{3}\right)^2 -\frac{5}{3}-4 = 11 \\\6 \cdot \frac{9}{4}+\frac{3}{2}-4 &=11 \quad or \quad \ \ 6 \cdot \frac{25}{9}-\frac{5}{3}-4 =11 \\\\frac{27}{2}+\frac{3}{2}-4 &=11 \qquad \qquad \quad \frac{50}{3}-\frac{5}{3}-4=11\\\15-4 &=11 \qquad \qquad \qquad \quad 15-4=11$

Ejemplo C

Resuelve $10x^2-25x=0$ usando la fatorización.

Solución: Aquí tenemos un ejemplo de una ecuación cuadrática sin un término constante. Lo único que podemos hacer es despejar el MCD.

$10x^2-25x &= 0\\\5x(2x-5) &= 0$

Iguala los factores a cero y resuelve.

$5x &=0 \qquad 2x-5=0\\\x &=0 \quad or \quad \ \ 2x=5\\\& \qquad \qquad \qquad x=\frac{5}{2}$

Comprueba:

$& 10(0)^2-25(0) = 0 \qquad \qquad 10\left(\frac{5}{2}\right)^2- 25 \left(\frac{5}{2}\right)=0\\\& \qquad \qquad \quad \ \ 0 = 0 \qquad or \quad \quad 10 \cdot \frac{25}{4}-\frac{125}{2}=0 \\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{125}{2} - \frac{125}{2} =0$

Revisión del Problema Introductorio Cuando la pelota toca el suelo, la alturat h es 0. Por lo tanto, la ecuación queda como $0 = -5t^2 + 9t + 2$ .

Factorizemos y resolvamos para encontrar t . $-5t^2 + 9t + 2$

Debemos encontrar los factores de $-10$ cuya suma sea 9. Al evaluar las posibilidades, encontramos que 10 y -1 son la combinación correcta.

$-5t^2 + 10t - t + 2$ = $(-5t^2 + 10t)+ (-t + 2)$ = $5t(-t + 2)+ (-t + 2)$ = $(5t + 1)(-t + 2)$

Ahora, igualemos esta factorización a 0 y resolvamos.

$(5t + 1)(-t + 2)=0$

Ya que t representa el tiempo, este debe ser positivo. Solo $(-t + 2)=0$ tiene como resultado un valor positivo.

$t = 2$ , por lo tanto le toma a la pelota 2 segundos tocar el suelo.

Práctica Guiada

Resuelve las ecuaciones a continuación mediante la factorización.

1. $4x^2-12x+9=0$

2. $x^2-5x=6$

3. $8x-20x^2=0$

4. $12x^2+13x+7=12-4x$

Respuestas

1. $ac = 36$ . Los factores de 36 cuya suma es -12 son -6 y -6. Desarrolla el término $x-$ y factoriza.

$4x^2-12x+9 &= 0\\\4x^2-6x-6x+9 &= 0\\\2x(2x-3)-3(2x-3) &= 0\\\(2x-3)(2x-3) &=0$

Los factores son los mismos. Cuando se factoriza un cuadrado de trinomio perfecto, los factores siempre serán los mismos. En este caso, las soluciones de $x$ también serán las mismas. Encuentra el valor de $x$ .

$2x-3 &= 0\\\2x &= 3\\\x &= \frac{3}{2}$

Cuando los dos factores son los mismos, llamamos a la solución de $x$ raíz doble ya que es la solución dos veces.

2. Ahora, debemos mover todo al mismo lado del signo igual para poder factorizar.

$x^2-5x &= 6\\\x^2-5x-6 &= 0$

Ya que no hay ningún número delante de $x^2$ , necesitamos encontrar los factores de -6 cuya suma sea -5.

$(x-6)(x+1)=0$

Al resolver cada factor para encontrar $x$ , obtenemos que $x = 6$ o $x = -1$ .

3. Aquí no existe un término constante. Encuentra el MCD para factorizar.

$8x-20x^2 &= 0\\\4x(2-5x) &= 0$

Resuelve cada factor para encontrar $x$ .

$4x &=0 \qquad 2-5x=0\\\x &=0 \quad or \qquad \ 2=5x\\\& \qquad \qquad \qquad \frac{2}{5}=x$

4. Este problema es un poco más complicado que el problema #2. Mueve todos los términos semejantes al mismo lado de la ecuación para que uno de los lados sea cero.

$12x^2+13x+7 &= 12-4x\\\12x^2+17x-5 &= 0$

$ac = -60$ . Los factores de -60 cuya suma es 17 son 20 y -3. Desarrolla el término y factoriza. $x-$ Los factores de -60 cuya suma es 17 son 20 y -3. Desarrolla el término y factoriza.

$12x^2+17x-5 &= 0\\\12 x^2+20x-3x-5 &= 0\\\4x(3x+5)-1(3x+5) &=0\\\(3x+5)(4x-1) &= 0$

Resuelve cada factor para encontrar $x$ .

$3x+5 &=0 \qquad 4x-1 = 0 \\\3x &= -5 \quad or \quad 4x=1\\\x &= -\frac{5}{3} \qquad \quad x = \frac{1}{4}$

Vocabulario

Solución: Respuesta a una ecuación. En el caso de las ecuaciones cuadrática, las soluciones pueden llamarse también ceros or raíces .

Raíz doble: Solución que se repite dos veces.

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la factorización.

$x^2+8x-9=0$
$x^2+6x=0$
$2x^2-5x=12$
$12x^2+7x-10=0$
$x^2=9$
$30x+25=-9x^2$
$2x^2+x-5=0$
$16x=32x^2$
$3x^2+28x=-32$
$36x^2-48=1$
$6x^2+x=4$
$5x^2+12x+4=0$

Desafío Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrática usando la factorización. Todas son factorizables.

$8x^2+8x-5=10-6x$
$-18x^2=48x+14$
$36x^2-24=96x-39$
Aplicación en la Vida Real George está ayudando a su padre a construir una cerca para el patio. El área total de su patio es de 1600 m2. El ancho de la casa es la mitad del largo del patio más 7 metros. ¿Cuánto cercado debe comprar el padre de George?

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