Simplificación de Raíces Cuadradas

En esta sección simplificarás, sumarás, restarás y multiplicarás raíces cuadradas.

El largo de los dos lados de un triángulo es $2\sqrt{5}$ y $3\sqrt{4}$ . ¿Cuál es el largo de la hipotenusa del triángulo?

Orientación

Antes de poder resolver una ecuación cuadrática usando raíces cuadradas, necesitamos repasar como simplificar, sumar, restar y multiplicar estas raíces. Recuerda que la raíz cuadrada es un número que, al multiplicarse por sí mismo, produce otro número distinto. Por ejemplo, 4 es la raíz cuadrada de 16. -4 también es la raíz cuadrada de 16 ya que $(-4)^2 = 16$ . El símbolo para la raíz cuadrada es el radical , o $\sqrt{}$ . El número que se encuentra debajo del radical se llama radicando . Si la raíz cuadrada de un número no es un número entero, es un número irracional.

Ejemplo A

Encuentra $\sqrt{50}$ usando:

a) Una calculadora

b) Simplificando la raíz cuadrada.

Solución:

a) Para ingresar la raíz cuadrada en tu calculadora, por lo general existe un botón $\sqrt{}$ o SQRT. Dependiendo del modelo de tu calculadora, puede que tengas que ingresar el número 50 antes o después de presionar el botón de la raíz cuadrada. De cualquier modo, tu respuesta debería ser $\sqrt{50}=7.071067811865 \ldots$ Por lo general, aproximamos hasta el segundo decimal, por lo que 7,07 es suficiente.

b) Para simplificar la raíz cuadrada, lo números al cuadrado deben "despejarse". Encuentra los factores de 50 que sean números cuadrados: 4, 9, 16, 25... 25 es factor de 50, así que separa los factores.

$\sqrt{50}=\sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$ . Esta es la respuesta más acertada. .

Reglas de los Radicales

1. $\sqrt{ab} = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ Siempre que los dos radicales se puedan multiplicar.

2. $x\sqrt{a} \pm y \sqrt{a} = x \pm y \sqrt{a}$ Los radicandos deben ser iguales para sumar o restar.

3. $\left(\sqrt{a}\right)^2 = \sqrt{a}^2 = a$ El cuadrado y la raíz cuadrada se anulan.

Ejemplo B

Simplifica $\sqrt{45}+\sqrt{80}-2\sqrt{5}$ .

Solución: A primera vista, no pareciera que se pudiera simplificar. Sin embargo, podemos simplificar cada radical despejando los cuadrados perfectos.

$\sqrt{45} &= \sqrt{9 \cdot 5} = 3 \sqrt{5}\\\\sqrt{80} &= \sqrt{16 \cdot 5} = 4 \sqrt{5}$

Al rescribir la expresión, obtenemos: $3\sqrt{5}+4\sqrt{5}-2\sqrt{5}$ y todos los radicandos son iguales. Usando el Orden de Operaciones, nuestra respuesta es $5 \sqrt{5}$ .

Ejemplo C

Simplifica $2\sqrt{35} \cdot 4 \sqrt{7}$ .

Solución: Multiplica cruzado.

$2\sqrt{35} \cdot 4 \sqrt{7} = 2 \cdot 4 \sqrt{35 \cdot 7} = 8 \sqrt{245}$

Ahora, simplifica el radical. $8\sqrt{245} = 8 \sqrt{49 \cdot 5} = 8 \cdot 7 \sqrt{5} = 56\sqrt{5}$

Revisión del Problema Introductorio Debemos usar el Teorema de Pitágoras, el cual plantea que el cuadrado de uno de los lados de un triángulo recto mas el cuadrado del otro lado es igual a el cuadrado de la hipotenusa.

Entonces, buscamos c de manera tal que $(2\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{4})^2 = c^2$ .

Al simplificar, obtenemos $4 \cdot 5 + 9 \cdot 4 = c^2$ , o $20 + 36 = c^2$ .

Por lo tanto, $c^2 = 56$ , entonces, para encontrar c , debemos calcular la raíz cuadrada de 56.

$\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ .

Por lo tanto, $c = 2\sqrt{14}$ .

Práctica Guiada

Simplifica los radicales a continuación:

1. $\sqrt{150}$

2. $2\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{96}$

3. $\sqrt{8} \cdot \sqrt{20}$

Respuestas

1. Despeja todos los números cuadrados.

$\sqrt{150}=\sqrt{25 \cdot 6}= 5 \sqrt{6}$

Método Alternativo : desarrolla la factorización prima de 150.

$\sqrt{150} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5}$

Ahora, saca todo número que se encuentre en pares. Escríbelo solo una vez delante del radical y multiplica lo que queda dentro del radical.

$\sqrt{150} = \sqrt{2 \cdot 3 \cdot {\color{red}5 \cdot 5}}={\color{red}5}\sqrt{6}$

2. Simplifica $\sqrt{96}$ para ver si algo se puede combinar. Usaremos el método alternativo planteado anteriormente.

$\sqrt{96}= \sqrt{{\color{red}2 \cdot 2} \cdot {\color{blue}2 \cdot 2} \cdot 2 \cdot 3} = {\color{red}2} \cdot {\color{blue}2} \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}$

Rescribe la expresión a continuación: $2 \sqrt{3} - \sqrt{6} + 4\sqrt{6} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{6}$ . Esta expresión está completamente simplificada. $\sqrt{3}$ y $\sqrt{6}$ no se pueden combinar ya que el radicando no es el mismo.

3. Este problema se puede resolver de dos maneras distintas.

Primer Método : Multiplica los radicales, luego simplifica el producto .

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$

Segundo Método : Simplifica los radicales, luego multiplica.

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{20} = \left(\sqrt{4 \cdot 2}\right) \cdot \left(\sqrt{4 \cdot 5}\right)= 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5}=2 \cdot 2 \sqrt{2 \cdot 5} = 4 \sqrt{10}$

Uno de estos métodos funcionará, dependiendo de complejidad del problema. Elige el método que prefieras.

Vocabulario

Raíz Cuadrada: Número que, al multiplicarse por sí mismo, produce otro número.

Cuadrado Perfecto: Número cuya raíz cuadrada es un número entero.

Radical: El signo $\sqrt{}$ , o raíz cuadrada.

Radicando: Número ubicado bajo el radical.

Práctica

Encuentra la raíz cuadrada de cada número usando la calculadora. Aproxima tu respuesta al centésimo más cercano.

SSimplifica los siguientes radicales. Si no se puede simplificar, escribe a un lado no se puede simplificar .

$\sqrt{18}$
$\sqrt{75}$
$\sqrt{605}$
$\sqrt{48}$
$\sqrt{50} \cdot \sqrt{2}$
$4\sqrt{3} \cdot \sqrt{21}$
$\sqrt{6} \cdot \sqrt{20}$
$\left(4\sqrt{5}\right)^2$
$\sqrt{24} \cdot \sqrt{27}$
$\sqrt{16} + 2\sqrt{8}$
$\sqrt{28} + \sqrt{7}$
$-8 \sqrt{3} - \sqrt{12}$
$\sqrt{72} - \sqrt{50}$
$\sqrt{6} +7 \sqrt{6} - \sqrt{54}$
$8 \sqrt{10} - \sqrt{90}+7\sqrt{5}$

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