División de Raíces Cuadradas

En esta sección aprenderás a dividir radicales y a racionalizar el denominador.

El área de un rectángulo es $\sqrt{30}$ . La longitud del triángulo es $\sqrt{20}$ . ¿Cuál es el ancho del triángulo?

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Khan Academy: How to Rationalize a Denominator

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Orientación

La división de radicales puede resultar ser un poco más difícil que las operaciones anteriores. La mayor complicación es que no puedes dejar ningún radical en el denominador de una fracción. Por esta razón, debemos hacer algo llamado racionalizar el denominador , , lo cual consiste en multiplicar la parte de arriba y de debajo de un fracción por el mismo radical que se encuentra en el denominador. Esto despejará los radicales y dejará solo un número natural.

Reglas de los Radicales

4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

5. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}$

Ejemplo A

Simplifica $\sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Solución: Descompone el radical usando la Regla #4.

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$

Ejemplo B

Simplifica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

Solución: Esto puede parecer que está simplificado, pero los radicales no pueden estar en el denominador de una fracción. Esto significa que necesitamos aplicar la Regla #5 para deshacernos del radical en el denominador o, de otra manera, racionalizar el denominador. Multiplica lo que está arriba y debajo de la fracción por $\sqrt{3}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Ejemplo C

Simplifica $\sqrt{\frac{32}{40}}$ .

Solución: Simplifica la fracción y después aplica las reglas vistas anteriormente.

$\sqrt{\frac{32}{40}}= \sqrt{\frac{4}{5}}= \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{5}}= \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Revisión del Problema Introductorio Recuerda que el área de un rectángulo es igual al largo por el ancho, por lo tanto, para encontrar el ancho, debemos dividir el área por el largo.

$\sqrt{\frac{30}{20}}$ = $\sqrt{\frac{3}{2}}$ .

Ahora, debemos racionalizar el denominador. Multiplica lo que está arriba y debajo de la fracción por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Por lo tanto, el ancho del rectángulo es $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Práctica Guiada

Simplifica las siguientes expresiones usando las Reglas de los Radicales aprendidas en esta sección y en la sección anterior.

1. $\sqrt{\frac{1}{2}}$

2. $\sqrt{\frac{64}{50}}$

3. $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$

Respuestas

1. $\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. $\sqrt{\frac{64}{50}}=\sqrt{\frac{32}{25}}=\frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{5}= \frac{4\sqrt{2}}{5}$

3. Lo único que podemos racionalizar es el denominador. Para hacerlo, multiplicamos el numerador y el denominador por $\sqrt{6}$ y después simplificamos la fracción.

$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}= \frac{4\sqrt{18}}{6}=\frac{4\sqrt{9 \cdot 2}}{6}= \frac{12\sqrt{2}}{6}=2\sqrt{2}$

Vocabulario

Racionalizar el denominador: Proceso usado para despejar un radical del denominador de una fracción.

Práctica

Simplifica las siguientes fracciones.

$\sqrt{\frac{4}{25}}$
$-\sqrt{\frac{16}{49}}$
$\sqrt{\frac{96}{121}}$
$\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$
$\frac{6}{\sqrt{15}}$
$\sqrt{\frac{60}{35}}$
$8\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{30}}$
$\frac{12}{\sqrt{6}}$
$\sqrt{\frac{208}{143}}$
$\frac{21\sqrt{3}}{2\sqrt{14}}$

Desafío: Aplica todas las Reglas de los Radicales que has aprendido en las dos últimas secciones para simplificar las expresiones.

$\sqrt{\frac{8}{12}} \cdot \sqrt{15}$
$\sqrt{\frac{32}{45}} \cdot \frac{6\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$
$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{2}}+\frac{8\sqrt{26}}{\sqrt{8}}$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}}$
$\frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{12}}-\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{10}}$

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