Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Usando Raíces Cuadradas

En esta sección aprenderás a usar las propiedades de las raíces cuadradas para resolver ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas.

La Srta. Garber dibuja un cuadrado en la pizarra y escribe la ecuación $\frac{4s^2}{5} - 3 = 13$ en la pizarra. "Esta ecuación representa el área" dice ella. "¿Cuál es el largo de cada lado ( s )?"

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Khan Academy: Solving Quadratics by Square Roots

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Orientación

Ahora que estas familiarizado con las raíces cuadradas, las usaremos para resolver ecuaciones cuadrática. Ten en cuenta que las raíces cuadradas no se pueden usar para resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática. Para resolver una ecuación cuadrática mediante el uso de raíces cuadradas; no puede estar presente un $x-$ término. Resolver ecuaciones cuadráticas usando raíces cuadradas es muy similar a resolver una ecuación linear. Para esto, debes aislar $x^2$ o lo que sea que esté al cuadrado.

Ejemplo A

Resuelve $2x^2-3=15$ .

Solución: Comienza por despejar $x^2$ .

$2x^2-3 &= 15\\\2x^2 &= 18\\\x^2 &= 9$

En este punto, puedes sacar la raíz cuadrada de ambos lados.

$\sqrt{x^2} &= \pm \sqrt{9}\\\x &= \pm 3$

Observa que $x$ tiene dos soluciones, 3 o -3. Al despejar la raíz cuadrada, coloca siempre $\pm$ (signo más o menos) delante de la raíz cuadrada. Esto signo indica que la respuesta positiva o la negativa será la solución.

Revisa: :

$& 2(3)^2-3 = 15 \qquad 2(-3)^2-3 = 15 \\\& \ 2 \cdot 9 -3 = 15 \quad or \quad \ 2 \cdot 9 -3 = 15 \\\& \quad 18-3 = 15 \qquad \qquad 18-3 = 15$

Ejemplo B

Resuelve $\frac{x^2}{16}+3=27$ .

Solución: Aísla $x^2$ y luego despeja la raíz cuadrada.

$\frac{x^2}{16}+3 &= 27\\\\frac{x^2}{16} &= 24\\\x^2 &= 384\\\x &= \pm \sqrt{384}= \pm 8\sqrt{6}$

Ejemplo C

Resuelve $3(x-5)^2+7=43$ .

Solución: En el siguiente ejemplo, $x$ no es la única cosa que está elevada al cuadrado. Aísla $(x-5)^2$ no es la única cosa que está elevada al cuadrado. Aísla

$3(x-5)^2+7 &= 43\\\3(x-5)^2 &= 36\\\(x-5)^2 &= 12\\\x-5 &= \pm \sqrt{12} \ or \ \pm 2\sqrt{3}$

Ahora que la raíz cuadrada ha sido despejada, añade 5 a ambos lados.

$x-5 &= \pm 2\sqrt{3}\\\x &= 5 \pm 2\sqrt{3}$

$x=5+2\sqrt{3}$ o $5-2\sqrt{3}$ . Podemos estimar que estas soluciones son decimales; 8,46 o 1,54. Recuerda, la respuesta más acertada incluye los números radicales.

Revisión del Problema Introductorio Para encontrar s ,aísla $s^2$ y luego despeja la raíz cuadrada.

$\frac{4s^2}{5} - 3 &= 13\\\\frac{4s^2}{5} &= 16\\\s^2 &= 20\\\s &= \pm \sqrt{20}= \pm 2\sqrt{5}$

Por lo tanto, el largo del lado del cuadrado es $2\sqrt{5}$ .

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

1. $\frac{2}{3}x^2-14=38$

2. $11+x^2=4x^2+5$

3. $(2x+1)^2-6=19$

Respuestas

1. Aísla $x^2$ y despeja la raíz cuadrada.

$\frac{2}{3}x^2-14 &= 38\\\\frac{2}{3}x^2 &= 52\\\x^2 &= 78\\\x &= \pm \sqrt{78}$

2. Agrupa todos los términos semejantes y luego aísla $x^2$ .

$11+x^2 &= 4x^2+5\\\-3x^2 &= -6\\\x^2 &= 2\\\x &= \pm \sqrt{2}$

3. Aísla lo que está elevado al cuadrado, despeja la raíz cuadrada y luego aísla $x$ .

$(2x+1)^2-6 &= 19\\\(2x+1)^2 &= 25\\\2x+1 &= \pm 5\\\2x &= -1 \pm 5\\\x &= \frac{-1 \pm 5}{2} \rightarrow x = \frac{-1+5}{2}=2 \ or \ x = \frac{-1-5}{2}=-3$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas. Simplifica las respuestas lo más posible. Sin decimales.

$x^2=144$
$5x^2-4=16$
$8-10x^2=-22$
$(x+2)^2=49$
$6(x-5)^2+1=19$
$\frac{3}{4}x^2-19=26$
$x^2-12=36-2x^2$
$9-\frac{x^2}{3}=-33$
$-4(x+7)^2=-52$
$2(3x+4)^2-5=45$
$\frac{1}{3}(x-10)^2-8=16$
$\frac{(x-1)^2}{6}-\frac{8}{3}=\frac{7}{2}$

Para resolver las siguientes ecuaciones cuadrática, usa la factorización o resuelve usando raíces cuadradas.

$x^2-16x+55=0$
$2x^2-9=27$
$6x^2+23x=-20$
Anotar Anota una serie de pistas o indicios que te ayuden a recordar cuando resolver una ecuación utilizando la factorización y las raíz cuadrada. ¿Habrán ecuaciones que puedan resolverse usando ambos métodos?
Resuelve $x^2-9=0$ usando la factorización y la raíz cuadrada. ¿Cuál de los dos métodos te parece más fácil y por qué?
Resuelve $(3x-2)^2+1=17$ usando la raíz cuadrada. Luego, Resuelve $3x^2-4x-4=0$ usando la factorización. ¿Qué es lo que notas? ¿Qué puedes concluir?
Aplicación en la Vida Real La proporción de una pantalla de televisión es la proporción del ancho y el largo de su pantalla. En el caso de las televisiones HD, la proporción de la pantalla es de 16:9. ¿Cuál es el ancho y el alto de una panta de televisor de 42 pulgadas? (Las 42 pulgadas se refieren al largo de la diagonal de la pantalla). PISTA: Utiliza el Teorema de Pitágoras. Aproxima tus respuestas al centésimo más cercano.
Aplicación en la Vida Real Cuando se deja caer un objeto, la velocidad del objeto incrementa de manera continua hasta que alcanza el suelo. Este escenario puede ser representado por la ecuación , donde es la altura, es el tiempo (en segundos) y es la altura inicial del objeto. Aproxima tus respuestas al centésimo más cercano.
1. Si dejas caer una pelota desde una altura de 200 pies, ¿Cuál será su altura después de dos segundos?
2. ¿Cuántos segundos se demorará la pelota en tocar el suelo?

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