Definición de Números Complejos

En esta sección aprenderás a definir, descubrirás las "potencias de $i$ ,” y sumarás y restarás números complejos e imaginarios.

La temperatura más baja posible, conocida como el cero absoluto es de casi -460 grados Fahrenheit. ¿Cuál es la raíz cuadrada de este número?

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Khan Academy: Introduction to i and Imaginary Numbers

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Khan Academy: Complex Numbers

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Orientación

En las secciones anteriores, todos los números eran números reales. 2, -5, $\sqrt{11}$ ,y $\frac{1}{3}$ son ejemplos de números reales. Mira el paso #1 de la Revisión. Con lo que hemos aprendido anteriormente, no podemos encontrar $\sqrt{-25}$ ya que no es posible despejar la raíz cuadrada de un número negativo. No existe un número real que, multiplicado por sí mismo, resulte en -25. Simplifiquemos $\sqrt{-25}$ .

$\sqrt{-25}= \sqrt{25 \cdot -1}=5 \sqrt{-1}$

Para sacar la raíz cuadrada de un número negativo debemos asignar una variable a $\sqrt{-1}$ esta será , $i$ . $i$ representa un número imaginario . Ahora, podemos recurrir a $i$ para sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

$\sqrt{-25}= \sqrt{25 \cdot -1}=5 \sqrt{-1}=5i$

Todos los números complejos tienen la forma $a + bi$ , donde $a$ y $b$ son números reales. $a$ es la parte real del número complejo y $b$ es la parte imaginaria . Si $b = 0$ , entonces solo resta $a$ y el número es un número real. Si $a = 0$ , entonces el número es solo $bi$ y se le llama número imaginario puro . Si $b \ne 0$ y $a \ne 0$ , el número será uno imaginario.

Ejemplo A

Encuentra $\sqrt{-162}$ .

Solución: Primero, despeja $i$ . Luego, simplifica $\sqrt{162}$ .

$\sqrt{-162}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{162}=i\sqrt{162}=i\sqrt{81 \cdot 2}=9i\sqrt{2}$

Estudio: Potencias de i

Además de ser poder sacar la raíz cuadrada de un número negativo, $i$ también posee algunas propiedades interesantes. Trata de encontrar $i^2,i^3,$ y $i^4$ .

1. Desarrolla $i^2$ y simplifica. $i^2=i \cdot i = \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{-1}^2=-1$

2. Desarrolla $i^3$ y simplifica. $i^3=i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i$

3. Desarrolla $i^4$ y simplifica. $i^4=i^2 \cdot i^2 = -1 \cdot -1 = 1$

4. Desarrolla $i^5$ y simplifica. $i^5=i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$

5. Desarrolla $i^6$ y simplifica. $i^6=i^4 \cdot i^2 = 1 \cdot -1 = -1$

6. ¿Notas el patrón? Descríbelo e intenta encontrar $i^{19}$ .

Deberías notar que las potencias de $i$ se repiten cada 4 potencias. Por lo tanto, todas las potencias divisibles por 4 serán iguales a 1. Para encontrar $i^{19}$ , divide 19 en 4 y determina el resto. Eso te dirá a que potencia es igual.

$i^{19}=i^{16} \cdot i^3 = 1 \cdot i^3=-i$

Ejemplo B

Encuentra:

a) $i^{32}$

b) $i^{50}$

c) $i^7$

Solución:

a) 32 es divisible por 4, por lo tanto $i^{32}=1$ .

b) $50 \div 4=12$ , con un resto de 2. Por lo tanto, $i^{50}=i^2=-1$ .

c) $7 \div 4=1$ , con un resto de 3. Por lo tanto, $i^7=i^3=-i$

Ejemplo C

Simplifica las expresiones complejas.

a) $(6-4i)+(5+8i)$

b) $9-(4+i)+(2-7i)$

Solución: : Para sumar o restar números complejos, debes combinar los términos semejantes. Pon especial atención a los negativos y su distribución. Tu respuesta debería estar siempre en forma estándar , la cual es $a + bi$ .

a) $(6-4i)+(5+8i)={\color{red}6}{\color{blue}-4i}+{\color{red}5}+{\color{blue}8i}={\color{red}11}+{\color{blue}4i}$

b) $9-(4+i)+(2-7i)={\color{red}9-4}{\color{blue}-i}+{\color{red}2}{\color{blue}-7i}={\color{red}7}{\color{blue}-8i}$

Revisión del Problema Introductorio Estamos buscando $\sqrt{-460}$ .

Primero, debemos despejar la $i$ . Luego, debemos simplificar $\sqrt{460}$ .

$\sqrt{-460}=\sqrt{-1} \cdot \sqrt{460}=i\sqrt{460}=i\sqrt{4 \cdot 115}=2i\sqrt{115}$

Práctica Guiada

Simplifica.

1. $\sqrt{-49}$

2. $\sqrt{-125}$

3. $i^{210}$

4. $(8-3i)-(12-i)$

Respuestas

1. Responde $\sqrt{-49}$ en función de $i$ y simplifica el radical.

$\sqrt{-49}=i\sqrt{49}=7i$

2. Rescribe $\sqrt{-125}$ en función de $i$ y simplifica el radical.

$\sqrt{-125}=i\sqrt{125}=i\sqrt{25 \cdot 5}=5i\sqrt{5}$

3. $210 \div 4=52$ , con un resto de 2. Por lo tanto, $i^{210}=i^2=-1$ .

4. Distribuye los términos negativos y combina los términos semejantes.

$(8-3i)-(12-i)=8-3i-12+i=-4-2i$

Vocabulario

Números Imaginarios: Todo número asociado a una $i$ Los números imaginarios tiene la forma $a + bi$ o $bi$ .

Números Complejos: Todos los números reales e imaginarios. Los números complejos tienen la forma estándar $a + bi$ , donde $a$ o $b$ pueden ser cero $a$ es la parte real y $bi$ es la parte imaginaria. .

Números Imaginarios Puros: Número imaginario sin una parte real, solo $bi$ .

Práctica

Simplifica cada expresión y escríbela de forma estándar.

$\sqrt{-9}$
$\sqrt{-242}$
$6\sqrt{-45}$
$-12i\sqrt{98}$
$\sqrt{-32} \cdot \sqrt{-27}$
$7i\sqrt{-126}$
$i^8$
$16i^{22}$
$-9i^{65}$
$i^{365}$
$2i^{91}$
$\sqrt{-\frac{16}{80}}$
$(11-5i)+(6-7i)$
$(14+2i)-(20+9i)$
$(8-i)-(3+4i)+15i$
$-10i-(1-4i)$
$(0.2+1.5i)-(-0.6+i)$
$6+(18-i)-(2+12i)$
$-i+(19+22i)-(8-14i)$
$18-(4+6i)+(17-9i)+24i$

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