Multiplicación y División Números Complejos

En esta sección, aprenderás a multiplicar y dividir números complejos.

El Prof. Marchez dibuja un triángulo en la pizarra. El designa que la altura es s (2 + 3 i ) y la base (2 - 4 i ). "Encuentra el área del triángulo", dice el Prof. Marchez". (Recuerda que el área de un triángulo es $A = \frac{1}{2}bh$ ,donde b es el largo de la base y h es la altura).

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Khan Academy: Multiplying Complex Numbers

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Khan Academy: Dividing Complex Numbers

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Orientación

Al multiplicar números complejos, multiplica los números usando el método PIES (véase la sección Factoring when $a = 1$ y luego reduce los términos semejantes. Al final, te encontrarás con un término $i^2$ Recuerda que $i^2=-1$ y luego simplifica.

Ejemplo A

Simplifica:

a) $6i(1-4i)$

b) $(5-2i)(3+8i)$

Solución:

a) Distribute the $6i$ to both parts inside the parenthesis.

$6i(1-4i)=6i-24i^2$

Reemplaza $i^2 = -1$ y sigue simplificando.

$&=6i-24(-1)\\\&=24+6i$

Recuerda siempre colocar primero la parte real primero.

b) Aplica el PIES para combinar los términos.

$(5-2i)(3+8i) &= 15+40i-6i-16i^2\\\&= 15+34i-16i^2$

Reemplaza $i^2 = -1$ sigue simplificando.

$&= 15+34i-16(-1)\\\&= 15+34i+16\\\&= 31+34i$

Más Orientación

La división de números complejos es un poco más difícil. Al ser similares a los números irracionales, los números complejos no pueden estar en el denominador de una fracción. Para remover un número complejo que se encuentra en el denominador, debemos multiplicar por el complejo conjugado . Si un número complejo tiene forma $a + bi$ , entonces que complejo conjugado es $a-bi$ . Por ejemplo, el complejo conjugado de $-6 + 5i$ sería $-6-5i$ . Por lo tanto, en vez de dividir números complejos, multiplicamos por el complejo conjugado.

Ejemplo B

Simplifica $\frac{8-3i}{6i}$ .

Solución: En caso de que debas dividir por un número imaginario puro, solo debes multiplicar la parte de arriba y de abajo por ese número. Luego, utiliza la multiplicación para simplificar.

$\frac{8-3i}{6i}\cdot \frac{6i}{6i} &= \frac{48i-18i^2}{36i^2}\\\&= \frac{18+48i}{-36}\\\&= \frac{18}{-36}+\frac{48}{-36}i\\\&= -\frac{1}{2}-\frac{4}{3}i$

Cuando el número complejo contiene fracciones, escribe el número de forma estándar para así mantener las partes real e imaginaria separados. Simplifica ambas fracciones de forma separada.

Ejemplo C

Simplifica $\frac{3-5i}{2+9i}$ .

Solución: Ahora, dividiremos por $2 + 9i$ , por ende debemos multiplicar lo que está arriba y abajo por el complejo conjugado, $2-9i$ .

$\frac{3-5i}{2+9i}\cdot \frac{2-9i}{2-9i} &= \frac{6-27i-10i+45i^2}{4-18i+18i-81i^2}\\\&= \frac{6-37i-45}{4+81}\\\&= \frac{-39-37i}{85}\\\&= - \frac{39}{85}-\frac{37}{85}i$

Observa que, al multiplicar por un complejo conjugado, el denominador se convierte en un número real y puedes separar las partes imaginaria y real de la fracción.

En los Ejemplos 2 y 3 sustituye $i^2 = -1$ para simplificar aún más la ecuación. Tu respuesta final nunca debe tener una potencia de $i$ mayor a 1.

Revisión del Problema Introductorio El área de un triángulo es $\frac{(2 + 3i)(2 - 4i)}{2}$ por lo tanto, multiplica con el método PIES los dos términos y divide por 2.

$(2 + 3i)(2 - 4i) = 4 - 8i + 6i -12i^2\\\&= 4 - 2i - 12i^2$

Reemplaza $i^2 = -1$ y simplifica.

$&= 4 - 2i -12(-1)\\\&= 4 - 2i + 12\\\&= 16 - 2i$

Ahora, divide el producto por 2.

$\frac {16 - 2i}{2} = 8 - i$

Por lo tanto, el área del triángulo es $8 -i$ .

Práctica Guiada

1. Cuál es el complejo conjugado de $7-5i$ ?

Simplifica las expresiones complejas a continuación.

2. $(7-4i)(6+2i)$

3. $\frac{10-i}{5i}$

4. $\frac{8+i}{6-4i}$

Respuestas

1. $7 + 5i$

2.Multiplica ambas expresiones usando el método PIES.

$(7-4i)(6+2i) &= 42+14i-24i-8i^2\\\&= 42-10i+8\\\&= 50-10i$

3. Multiplica el numerador y el denominador por $5i$ .

$\frac{10-i}{5i} \cdot \frac{5i}{5i} &= \frac{50i-5i^2}{25i^2}\\\&= \frac{5+50i}{-25}\\\&= \frac{5}{-25}+\frac{50}{-25}i\\\&= -\frac{1}{5}-2i$

4. Multiplica el numerador y el denominador por el complejo conjugado, $6 + 4i$ .

$\frac{8+i}{6-4i} \cdot \frac{6+4i}{6+4i} &= \frac{48+32i+6i+4i^2}{36+24i-24i-16i^2}\\\&= \frac{48+38i-4}{36+16}\\\&= \frac{44+38i}{52}\\\&= \frac{44}{52} + \frac{38}{52}i\\\&= \frac{11}{13}+\frac{19}{26}i$

Vocabulario

Complejo Conjugado

El "opuesto" de un número complejo. Si un número complejo tiene la forma $a+bi$ , su complejo conjugado es $a-bi$ . Al multiplicarse estos dos números complejos, el producto es un número real.

Práctica

Simplifica las expresiones a continuación. Responde de forma estándar.

$i(2-7i)$
$8i(6+3i)$
$-2i(11-4i)$
$(9+i)(8-12i)$
$(4+5i)(3+16i)$
$(1-i)(2-4i)$
$4i(2-3i)(7+3i)$
$(8-5i)(8+5i)$
$\frac{4+9i}{3i}$
$\frac{6-i}{12i}$
$\frac{7+12i}{-5i}$
$\frac{4-2i}{6-6i}$
$\frac{2-i}{2+i}$
$\frac{10+8i}{2+4i}$
$\frac{14+9i}{7-20i}$

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