Resolución de Ecuaciones Cuadráticas cuyas Soluciones son Números Complejos

En esta sección, aplicarás lo aprendido sobre los números complejos y resolverás ecuaciones cuadráticas cuyas soluciones son números complejos.

La Srta. Harback escribe la ecuación $5x^2 + 125 = 0$ en la pizarra. Le pregunta a la clase cuántas soluciones tiene la ecuación y de qué tipo son.

Corrine responde que la ecuación tiene dos soluciones reales. Drushel, por su parte, responde que la ecuación tiene una doble raíz, por lo tanto solo tiene una solución. Farrah, por otra parte, responde que la ecuación tiene dos soluciones imaginarias.

¿Quién de ellos está en lo correcto?

Orientación

Cuando resuelves una ecuación cuadrática, siempre habrán dos respuestas. Hasta ahora, creíamos que las respuestas eran solo números reales. En realidad, existen ecuaciones cuadráticas que tienen soluciones imaginarias. Las soluciones posibles para una ecuación cuadrática son:

2 soluciones reales

$x^2-4 &= 0\\\x &= -2,2$

Doble raíz

$x^2+4x+4 &= 0\\\x &= -2,-2$

2 soluciones imaginarias

$x^2+4 &= 0\\\x &= -2i,2i$

Ejemplo A

Resuelve $3x^2+27=0$ .

Solución: Primero, factoriza el MCD.

$3(x^2+9)=0$

Ahora, intenta factorizar $x^2 + 9$ . Rescribe las ecuaciones de esta manera $x^2 + 0x + 9$ como apoyo. No existen factores de 9 cuya suma sea 0. Por lo tanto, esta ecuación no se puede factorizar. Resolvámosla usando raíces cuadradas.

$3x^2+27 &= 0\\\3x^2 &= -27\\\x^2 &= -9\\\x &= \pm \sqrt{-9}= \pm 3i$

Las ecuaciones cuadráticas con soluciones imaginarias jamás se pueden factorizar.

Ejemplo B

Resuelve $(x-8)^2=-25$

Solución: Resuelve usando raíces cuadradas.

$(x-8)^2 &= -25\\\x-8 &= \pm 5i\\\x &= 8 \pm 5i$

Ejemplo C

Resuelve $2(3x-5)+10=-30$ .

Solución: Resuelve usando raíces cuadradas.

$2(3x-5)^2+10 &=-30\\\2(3x-5)^2 &=-40\\\(3x-5)^2 &=-20\\\3x-5 &=\pm2i\sqrt{5}\\\3x &=5\pm2i\sqrt{5}\\\x &=\frac{5}{3}\pm\frac{2\sqrt{5}}{3}i$

Revisión del Problema Introductorio Para resolver $5x^2+125=0$ , primero necesitamos factorizar el MCD.

$5(x^2+25)=0$

Ahora, trata de factorizar $x^2 + 25$ . Rescribe las ecuaciones de esta manera $x^2 + 0x + 25$ como apoyo. No existen factores de 25 cuya suma sea 0. Por lo tanto, esta ecuación no es factorizable. Resolvámosla usando raíces cuadradas.

$5x^2 + 125 &= 0\\\5x^2 &= -125\\\x^2 &= -25\\\x &= \pm \sqrt{-5}= \pm 5i$

La ecuación tiene dos raíces y ambas son imaginarias, por lo tanto, Farrah está en lo correcto.

Práctica Guiada

1. Resuelve $4(x-5)^2+49=0$ .

2. Resuelve $-\frac{1}{2}(3x+8)^2-16=2$ .

Respuestas

Ambas ecuaciones pueden resolverse usando raíces cuadradas.

1. $4(x-5)^2+49 &=0\\\4(x-5)^2 &=-49\\\(x-5)^2 &=-\frac{49}{4}\\\x-5 &=\pm\frac{7}{2}i\\\x &=5\pm\frac{7}{2}i$

2. $-\frac{1}{2}(3x+8)^2-16 &=2\\\-\frac{1}{2}(3x+8)^2 &=18\\\(3x+8)^2 &=-36\\\3x+8 &=\pm6i\\\3x &=-8\pm6i\\\x &=-\frac{8}{3}\pm2i$

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.

$x^2=-9$
$x^2+8=3$
$(x+1)^2=-121$
$5x^2+16=-29$
$14-4x^2=38$
$(x-9)^2-2=-82$
$-3(x+6)^2+1=37$
$4(x-5)^2-3=-59$
$(2x-1)^2+5=-23$
$-(6x+5)^2=72$
$7(4x-3)^2-15=-68$
Si una ecuación cuadrática tiene a $4 - i$ como solución, ¿Cuál debería ser la otra solución?
Si una ecuación cuadrática tiene a $6 + 2i$ como solución, ¿Cuál debería ser la otra solución?
Desafío: Recuerda que el factor de una ecuación cuadrática tiene forma $(x\pm m)$ donde $m$ es cualquier número. Encuentra una ecuación cuadrática que tenga como solución $3 + 2i$ .
Encuentra una ecuación cuadrática que tenga como solución $1-i$ .

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