Completar el Cuadrado Cuando el Coeficiente Principal es Igual a 1

En esta sección aprenderás a como completar el cuadrado de una ecuación cuadrática de forma estándar cuando a = 1.

El área de un paralelogramo es dada por la ecuación $x^2 + 8x - 5 = 0$ , donde x es el largo de la base. ¿Cuál es el largo de la base?

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Khan Academy: Solving Quadratic Equations by Completing the Square

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Orientación

Completar el cuadrado es otra técnica que se usa para resolver unas ecuaciones cuadráticas. Cuando se completa el cuadrado, el objetivo es hacer un cuadrado de trinomio perfecto y factorizarlo.

Ejemplo A

Resuelve $x^2-8x-1=10$ .

Solución:

1. Escribe el polinomio de manera tal que $x^2$ y $x$ queden al lado izquierdo de la ecuación y las constantes en el lado derecho. Esto solo tiene como motivo la organización, pero de verdad ayuda. Deja un pequeño espacio después de $x-$ término.

$x^2-8x=11$

2. Ahora, "completa el cuadrado." Determina que número formaría un cuadrado de trinomio perfecto $x^2-8x+c$ . Para lograr esto, divide $x-$ término por 2 y eleva al cuadrado aquel número o $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ .

$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{8}{2}\right)^2=4^2=16$

3. Añade este número a ambos lados con el fin de mantener balanceada la ecuación.

$x^2-8x {\color{red}+16}=11 {\color{red}+16}$

4. Factoriza lo que se encuentra a la izquierda para formar cuadrado de binomio y luego simplifica lo que está a la derecha.

$(x-4)^2=27$

5. Resuelve utilizando raíces cuadradas.

$x-4 &=\pm3\sqrt{3}\\\x &=4 \pm 3 \sqrt{3}$

Completar el cuadrado te permite resolver cualquier ecuación cuadrática utilizando raíces cuadradas. Mediante este proceso, podemos hacer que una ecuación cuadrática no factorizable se pueda solucionar como la que vimos anteriormente. También puede usarse con ecuaciones cuadráticas que tienen soluciones imaginarias.

Ejemplo B

Resuelve $x^2+12x+37=0$

Solución: Primero, hay que dejar claro que esta ecuación cuadrática no es factorizable. Por lo tanto, la única forma que conocemos para resolver esta ecuación es completar el cuadrado. Sigue los pasos del Ejemplo A.

1. Ordena el polinomio de manera tal que las $x$ queden en la izquierda y las constantes en la derecha.

$x^2+12x=-37$

2. Encuentra $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ añádelo a ambos lados.

$\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{12}{2}\right)^2 &=6^2={\color{red}36}\\\x^2+12x+{\color{red}36} &=-37+{\color{red}36}$

3. Factoriza el lado izquierdo y resuelve $(x+6)^2 &=-1\\\x+6 &=\pm i\\\x &=-6\pm i$

Ejemplo C

Resuelve $x^2-11x-15=0$ .

Solución: Esta no es una ecuación factorizable. Utiliza el método de completar el cuadrado.

1. Ordena el polinomio de manera tal que las , $x$ queden en la izquierda y las constantes en la derecha.

$x^2-11x=15$

2. Encuentra $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ y añádelo a ambos lados.

$\left(\frac{b}{2}\right)^2 &=\left(\frac{11}{2}\right)^2 = {\color{red}\frac{121}{4}}\\\x^2-11x+{\color{red}\frac{121}{4}} &=15+{\color{red}\frac{121}{4}}$

3. y añádelo a ambos lados.

$\left(x-\frac{11}{2}\right)^2 &=\frac{60}{4}+{\color{red}\frac{121}{4}}\\\\left(x-\frac{11}{2}\right)^2 &=\frac{181}{4}\\\x-\frac{11}{2} &=\pm \frac{\sqrt{181}}{2}\\\x &=\frac{11}{2}\pm \frac{\sqrt{181}}{2}$

Revisión del Problema Introductorio $x^2 + 8x - 5 = 0$ , no se puede factorizar, así que debemos completar el cuadrado.

1. Escribe el polinomio de manera tal que $x^2$ y $x$ estén en el lado izquierdo de la ecuación y las constantes en la derecha.

$x^2 + 8x = 5$

2. Ahora, completa el cuadrado. $\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{8}{2}\right)^2=4^2=16$

3. Añade este número en ambos lados para que la ecuación siga balanceada.

$x^2 + 8x {\color{red} + 16}=5 {\color{red} + 16}$

4. Factoriza el lado izquierdo al cuadrado de binomio y simplifica el lado derecho.

$(x + 4)^2=21$

5. Resuelve utilizando raíces cuadradas.

$x + 4 &=\pm\sqrt{21}\\\x &= -4 \pm \sqrt{21}$

Sin embargo, ya que x es el largo de la base del paralelogramo, esta debe tener un valor positivo. Solo $-4 + \sqrt{21}$ tiene como resultado un valor positivo. Por lo tanto, el largo de la base es $-4 + \sqrt{21}$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra el valor de $c$ que haría a $x^2-2x+c$ un cuadrado de trinomio perfecto. Luego, factoriza el trinomio.

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

2. $x^2+10x+21=0$

3. $x-5x=12$

Respuestas

1. $c=\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{2}{2}\right)^2=1^2=1$ . Los factores de $x^2-2x+1$ son $(x - 1)(x - 1)$ o $(x - 1)^2$ .

2. Recurre a los pasos de los ejemplos vistos anteriormente.

$x^2+10x+21 &=0\\\x^2+10x &=-21\\\x^2+10x+\left(\frac{10}{2}\right)^2 &=-21+\left(\frac{10}{2}\right)^2\\\x^2+10x+25 &=-21+25\\\(x+5)^2 &=4\\\x+5 &=\pm 2\\\x &=-5\pm 2\\\x &=-7,-3$

3. Recurre a los pasos de los ejemplos vistos anteriormente.

$x^2-5x &=12\\\x^2-5x+\left(\frac{5}{2}\right)^2 &=12+\left(\frac{5}{2}\right)^2\\\x^2-5x+\frac{25}{4} &=\frac{48}{4}+\frac{25}{4}\\\\left(x-\frac{5}{2}\right)^2 &=\frac{73}{4}\\\x-\frac{5}{2} &=\pm \frac{\sqrt{73}}{2}\\\x &=\frac{5}{2}\pm \frac{\sqrt{73}}{2}$

Vocabulario

Binomio: Expresión matemática con dos términos.

Expresión matemática con dos términos.: Binomio que está elevado al cuadrado.

Completar el Cuadrado: Proceso que se usa para resolver ecuaciones cuadráticas que no se pueden factorizar.

Práctica

Determina el valor de $c$ que completaría el cuadrado de binomio perfecto.

$x^2+4x+c$
$x^2-2x+c$
$x^2+16x+c$

Rescribe el cuadrado de trinomio perfecto como un cuadrado de binomio.

$x^2+6x+9$
$x^2-7x+\frac{49}{4}$
$x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}$