Completación del Cuadrado Cuando el Coeficiente Principal No es Igual a 1

En esta sección aprenderás como completar el cuadrado de ecuaciones cuadráticas específicas de forma estándar.

El área de otro paralelogramo es dada por la ecuación $3x^2 + 9x - 5 = 0$ , donde x es el largo de la base. ¿Cuál es el largo de la base?

Orientación

Cuando un número está delante de $x^2$ , hará que completar el cuadrado sea un poco más complicado. Observa cómo cambian los pasos en el Ejemplo A.

Ejemplo A

Determina el número c que completa el cuadrado de $2x^2 - 8x + c$ .

Solución: In the previous concept, we just added $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ , pero esto ocurría cuando $a=1$ . Ahora que $a \neq 1$ , debemos tomar el valor de a en consideración. Primero, calculemos el MCD de 2 y 8.

$2 \left(x^2 - 4x \right)$

Ahora, no hay un número delante de $x^2$ .

$\left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{4}{2}\right)^2 = 4$ .

Añade este número dentro del paréntesis y distribuye el 2.

$2 \left(x^2 - 4x +4 \right)=2x^2-4x+8$

Por lo tanto, $c=8$ .

Ejemplo B

Resuelve $3x^2-9x+11=0$

Solución:

1. Escribe el polinomio de manera tal que $x^2$ y $x$ are queden en el lado izquierdo de la ecuación y las constantes a la derecha.

$3x^2-9x=-11$

2. Saca $a$ de todo lo que está al lado izquierdo. Incluso si $b$ no es divisible por $a$ ,el coeficiente de $x^2$ debe ser 1 para completar el cuadrado.

$3(x^2-3x+\underline{\;\;\;\;\;\;})=-11$

3. Ahora, completa el cuadrado. Determina qué número formará un cuadrado de trinomio perfecto.

Para lograr esto, divide $x-$ término por 2 y eleva aquel número al cuadrado o $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ .

$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$

4. Suma este número al interior del paréntesis en el lado izquierdo. En el lado derecho, deberás sumar ${\color{red}a\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^2}$ para mantener balanceada la ecuación.

$3\left(x^2-3x {\color{red}+\frac{9}{4}}\right)=-11 {\color{red}+\frac{27}{4}}$

5. Factoriza el lado izquierdo y simplifica el lado derecho..

$3\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=-\frac{17}{4}$

6. Resuelve usando raíces cuadradas.

$\left(x-\frac{3}{2}\right)^2 &=-\frac{17}{12}\\\x-\frac{3}{2} &=\pm \frac{i\sqrt{17}}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\\x &=\frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{51}}{6}i$

Ten cuidado con la integración del paso 2 y los cambios realizados en el paso 4. Un error muy común es añadir $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ a ambos lados, sin multiplicar el lado derecho $a$ .

Ejemplo C

Resuelve $4x^2+7x-18=0$ .

Solución: Sigamos los pasos del Ejemplo 2.

1. Escribe el polinomio con tal que $x^2$ y $x$ estén en el lado izquierdo de la ecuación y las constantes en el lado derecho.

$4x^2-7x=18$

2. Saca $a$ de todo lo que está en el lado izquierdo.

$4\left(x^2+\frac{7}{4}x+\underline{\;\;\;\;\;\;}\right)=18$

3. . Ahora, completa el cuadrado. Encuentra $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ .

$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{7}{8}\right)^2=\frac{49}{64}$

4. Suma este número al interior del paréntesis de la izquierda. En el lado derecho, deberás sumar ${\color{red}a\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^2}$ para mantener la ecuación balanceada.

$4\left(x^2+\frac{7}{4}x{\color{red}+\frac{49}{64}}\right)=18{\color{red}+\frac{49}{16}}$

5. Factoriza el lado izquierdo y factoriza el lado derecho.

$4\left(x+\frac{7}{8}\right)^2=\frac{337}{16}$

6. Resuelve usando raíces cuadradas.

$\left(x+\frac{7}{8}\right)^2 &=\frac{337}{64}\\\x+\frac{7}{8} &=\pm \frac{\sqrt{337}}{8}\\\x &=-\frac{7}{8} \pm \frac{\sqrt{337}}{8}$

Revisión del Problema Introductorio No podemos factorizar $3x^2 + 9x - 5 = 0$ , por lo tanto, sigamos paso a paso el proceso que aprendimos en esta sección.

1. Escribe el polinomio de manera tal que $x^2$ y $x$ queden en el lado izquierdo de la oración y las constantes en el lado derecho.

$3x^2 + 9x = 5$

2. Saca $a$ de todo lo que está al lado izquierdo.

$3\left(x^2 + 3x+\underline{\;\;\;\;\;\;}\right) = 5$

3. Ahora, completa el cuadrado. Encuentra $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ .

$\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}$

4. Suma este número a lo que está al interior del paréntesis en la izquierda. En el lado derecho, debes sumar ${\color{red}a\cdot\left(\frac{b}{2}\right)^2}$ para mantener la ecuación balanceada.

$3\left(x^2+ 3x{\color{red}+\frac{9}{4}}\right)=5{\color{red}+\frac{27}{4}}$

5. Factoriza el lado izquierdo y simplifica el lado derecho.

$3\left(x+\frac{3}{2}\right)^2=\frac{47}{4}$

6. Resuelve usando raíces cuadradas.

$\left(x+\frac{3}{2}\right)^2 &=\frac{47}{12}\\\x+\frac{3}{2} &=\pm \frac{\sqrt{47}}{\sqrt{12}}\\\x &=-\frac{3}{2} \pm \frac{{\sqrt{47}}}{2\sqrt{3}}\\\x &=-\frac{3}{2} \pm \frac{{\sqrt{141}}}{6}$

Sin embargo, ya que x es el largo de la base del paralelogramo, esta debe tener un valor positivo. Solo $x =-\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt{141}}}{6}$ resulta en un valor positivo; por lo tanto, el largo de la base es $x =-\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt{141}}}{6}$ .

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.

1. $5x^2+29x-6=0$

2. $8x^2-32x+4=0$

Respuestas

Utiliza los pasos de los ejemplos vistos anteriormente para obtener $x$ .

$5x^2+29x-6 &=0\\\5\left(x^2+\frac{29}{5}x\right) &=6\\\5\left(x^2+\frac{29}{5}x+\frac{841}{100}\right) &=6+\frac{841}{20}\\\5\left(x+\frac{29}{10}\right)^2 &=\frac{961}{20}\\\\left(x+\frac{29}{10}\right)^2 &=\frac{961}{100}\\\x+\frac{29}{10} &=\pm \frac{31}{10}\\\x &=-\frac{29}{10} \pm \frac{31}{10}\\\x &=-6, \frac{1}{5}$

$8x^2-32x+4 &=0\\\8(x^2-4x) &=-4\\\8(x^2-4x+4) &=-4+32\\\8(x-2)^2 &=28\\\(x-2)^2 &=\frac{7}{2}\\\x-2 &=\pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\x &=2\pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

Práctica

Resuelve las ecuaciones de segundo graso completando el cuadrado.

$6x^2-12x-7=0$
$-4x^2+24x-100=0$
$5x^2-30x+55=0$
$2x^2-x-6=0$
$\frac{1}{2}x^2+7x+8=0$
$-3x^2+4x+15=0$

Resuelve las siguientes ecuaciones usando la factorización, las raíces cuadradas o la completación del cuadrado.

$4x^2-4x-8=0$
$2x^2+9x+7=0$
$-5(x+4)^2-19=26$
$3x^2+30x-5=0$
$9x^2-15x-6=0$
$10x^2+40x+88=0$

Los problemas 13-15 se resuelven uno a partir del otro.

Desafío Completa el cuadrado para $ax^2+bx+c=0$ . Sigue los pasos vistos en los Ejemplos 1 y 2. Tu respuesta final debe ser en términos de $a, b,$ y $c$ .
Para la ecuación $8x^2+6x-5=0$ , usa la fórmula que encontraste en el ejercicio #13 para encontrar $x$ .
¿Se puede factorizar la ecuación del ejercicio #14? De ser así, factoriza y resuelve.
Análisis de Error Examina el problema desarrollado a continuación.

$4x^2-48x+11&=0\\\4(x^2-12x+\underline{\;\;\;\;\;\;}) &=-11\\\4(x^2-12x+36) &=-11+36\\\4(x-6)^2 &=25\\\(x-6)^2 &=\frac{25}{4}\\\x-6 &=\pm \frac{5}{2}\\\x &=6\pm \frac{5}{2} \rightarrow \frac{17}{2},\frac{7}{2}$

Sustituye las respuestas de la ecuación original para comprobar si sirven. De no ser así, encuentra el error y corrígelo.

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