Derivación y Uso de la Fórmula Cuadrática

En esta sección aprenderás a derivar la Fórmula Cuadrática y usarla para resolver cualquier ecuación cuadrática.

La ganancia de la recaudación de fondos para tu escuela está representada por la expresión cuadrática $-3p^2 + 200p - 3000$ , donde p es el precio de punto. ¿Cuál es tú punto de equilibrio (por ejemplo, el punto de precio al cual comenzarás a hacer ganancias)? Pista: Iguala la ecuación a cero.

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Khan Academy: Quadratic Formula 1

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Orientación

La última forma de resolver una ecuación cuadrática es la Fórmula Cuadrática. . Esta fórmula es derivada de la completación del cuadrado de la ecuación $ax^2+bx+c=0$ (véase el ejercicio #13 de la Lista de Problemas de la sección anterior). Derivaremos la fórmula a continuación.

Estudio: Derivación de la Fórmula Cuadrática

Realiza cada paso para completar el cuadrado de $ax^2+bx+c=0$ .

1. Mueve la constante al lado derecho de la ecuación. $ax^2+bx=-c$

2. "Saca" ; $a$ de todo lo que está en el lado izquierdo de la ecuación. $a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)=-c$

3. Completa el cuadrado usando $\frac{b}{a}$ . $\left(\frac{b}{2}\right)^2=\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}$

4. Suma este número a ambos lados de la ecuación. No olvides que en el lado derecho debes multiplicarlo por $a$ (para comenzar por $a$ que se encuentra fuera del paréntesis). $a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)=-c+\frac{b^2}{4a}$

5. Factoriza la ecuación cuadrática que se encuentra dentro del paréntesis y dale al lado derecho un común denominador. $a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}$

6. Divide ambos lados por $a$ . $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

7. Saca la raíz cuadrada de ambos lados. $x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

8. Resta $\frac{b}{2a}$ a ambos lados para obtener $x$ . $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Esta fórmula te permitirá resolver cualquier ecuación cuadrática siempre que conozcas $a, b$ , y $c$ (de $ax^2+bx+c=0$ ).

Ejemplo A

Resuelve $9x^2-30x+26=0$ usando la Fórmula Cuadrática.

Solución: Primero, asegúrate que un lado de la ecuación sea cero. Luego, encuentra $a, b,$ y $c$ . $a = 9, b = -30, c = 26$ . Ahora, reemplaza los valores en la fórmula y resuelve para encontrar $x$ .

$x &=\frac{-(-30)\pm \sqrt{(-30)^2-4(9)(26)}}{2(9)}\\\&=\frac{30\pm \sqrt{900-936}}{18}\\\&=\frac{30\pm \sqrt{-36}}{18}\\\&=\frac{30\pm 6i}{18}\\\&=\frac{5}{3} \pm \frac{1}{3}i$

Ejemplo B

Resuelve $2x^2+5x-15=-x^2+7x+2$ usando la Fórmula Cuadrática.

Solución: Llevemos todo al lado izquierdo de la ecuación.

$2x^2+5x-15 &=-x^2+7x+2\\\3x^2-2x-13 &=0$

Ahora, usa $a = 3, b = -2,$ y $c = -13$ y reemplázalos en la Fórmula Cuadrática.

$x &=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(3)(-13)}}{2(3)}\\\&=\frac{2 \pm \sqrt{4+156}}{6}\\\&=\frac{2 \pm \sqrt{160}}{6}\\\&=\frac{2 \pm 4\sqrt{10}}{3}$

Ejemplo C

Usa la factorización, la Fórmula Cuadrática y la completación del cuadrado para resolver $x^2+20x+51=0$ .

Solución: Aunque no lo parezca, 51 no es un número primo. Los factores de 51 son 17 y 3, cuya suma es 20.

$x^2+20x+51 &=0\\\(x+17)(x+13) &=0\\\x &=-17, -3$

Ahora, resuelve completando el cuadrado.

$x^2+20x+51 &=0\\\x^2+20x &=-51\\\x^2+20x+100 &=-51+100\\\(x+10)^2 &=49\\\x+10 &=\pm 7\\\x &=-10 \pm 7 \rightarrow -17, -3$

Finalmente, usemos la Fórmula Cuadrática. $a = 1, b = 20, c = 51$ .

$x &=\frac{-20 \pm \sqrt{20^2-4(1)(51)}}{2(1)}\\\&=\frac{-20 \pm \sqrt{400-204}}{2}\\\&=\frac{-20 \pm \sqrt{196}}{2}\\\&=\frac{-20 \pm 14}{2}\\\&=-17, -3$

Observa que no importa cómo resuelvas esta, o cualquier, ecuación cuadrática, el resultado siempre será el mismo.

Revisión del Problema Introductorio El punto de equilibrio es el punto en el cual la ecuación es igual a cero. Por lo tanto, usa la Fórmula Cuadrática para resolver $-3p^2 + 200p - 3000$ y encontrar p .

$-3p^2 + 200p - 3000 = 0$

Ahora, usa $a = -3, b = 200,$ y $c = -3000$ y reemplázalos en la Fórmula Cuadrática.

$p &=\frac{-(200) \pm \sqrt{(200)^2-4(-3)(-3000)}}{2(-3)}\\\&=\frac{-200\pm \sqrt{40000-36000}}{-6}\\\&=\frac{-200\pm \sqrt{4000}}{-6}\\\&=\frac{-200\pm 20\sqrt{10}}{-6}\\\&=\frac{100}{3} \pm \frac{10\sqrt{10}}{3}$

Por lo tanto, existen dos puntos de equilibrio: $\frac{100}{3} \pm \frac{10\sqrt{10}}{3}$ .

Práctica Guiada

1. Resuelve $-6x^2+15x-22=0$ usando la Fórmula Cuadrática.

2. Resuelve $2x^2-x-15=0$ usando los tres métodos.

Respuestas

1. $a = -6, b = 15,$ y $c = -22$

$x &=\frac{-15 \pm \sqrt{15^2-4(-6)(-22)}}{2(-6)}\\\&=\frac{-15 \pm \sqrt{225-528}}{-12}\\\&=\frac{-15 \pm i \sqrt{303}}{-12}\\\&=\frac{5}{4} \pm \frac{\sqrt{303}}{12}i$

2. Factorizar : $ac = -30$ . Los factores de -30 cuya suma es -1 son -6 y 5. Desarrolla el $x-$ término.

$2x^2-6x+5x-15 &=0\\\2x(x-3)+5(x-3) &=0\\\(x-3)(2x+5) &=0\\\x &=3, -\frac{5}{2}$

Completa el cuadrado

$2x^2-x-15 &=0\\\2x^2-x &=15\\\2\left(x^2-\frac{1}{2}x\right) &=15\\\2\left(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}\right) &=15+\frac{1}{8}\\\2\left(x-\frac{1}{4}\right)^2 &=\frac{121}{8}\\\\left(x-\frac{1}{4}\right)^2 &=\frac{121}{16}\\\x-\frac{1}{4} &= \pm \frac{11}{4}\\\x &=\frac{1}{4} \pm \frac{11}{4} \rightarrow 3, -\frac{5}{2}$

Fórmula Cuadrática

$x &=\frac{1 \pm \sqrt{1^2-4(2)(-15)}}{2(2)}\\\&=\frac{1 \pm \sqrt{1+120}}{4}\\\&=\frac{1 \pm \sqrt{121}}{4}\\\&=\frac{1 \pm 11}{4}\\\&=\frac{12}{4}, -\frac{10}{4} \rightarrow3, -\frac{5}{2}$

Vocabulario

Fórmula Cuadrática: Fórmula que se aplica a toda ecuación cuadrática con forma $ax^2+bx+c=0$ , $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ .

Práctica

Usando la Fórmula Cuadrática, resuelve las siguientes ecuaciones.

$x^2+8x+9=0$
$4x^2-13x-12=0$
$-2x^2+x+5=0$
$7x^2-11x+12=0$
$3x^2+4x+5=0$
$x^2-14x+49=0$

Elige cualquier método para resolver las ecuaciones a continuación.

$x^2+5x-150=0$
$8x^2-2x-3=0$
$-5x^2+18x-24=0$
$10x^2+x-2=0$
$x^2-16x+4=0$
$9x^2-196=0$

Resuelve las siguientes ecuaciones usando los tres métodos.

$4x^2+20x+25=0$
$x^2-18x-63=0$
Respuesta Escrita Explica cuando usarías los distintos métodos para resolver los distintos tipos de ecuaciones. El tipo de respuesta (real o imaginaria) ¿Te ayudaría a decidir que método usar? ¿Cuál de los métodos te parece más sencillo?

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