Uso del Discriminante

En esta sección usarás el discriminante de la Fórmula Cuadrática para determinar cuántas soluciones reales tiene una ecuación.

La ganancia de la recaudación de fondos para tu escuela es representada por la siguiente ecuación $-5p^2 + 400p - 8000$ , donde p es tu punto de precio. ¿Cuántos puntos de equilibrio reales tendrás?

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Khan Academy: Discriminant for Types of Solucións for a Quadratic

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En las secciones anteriores, aprendimos que la Fórmula Cuadrática es $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ . A la expresión que se encuentra bajo el radical, $b^2-4ac$ , se le llama discriminante. Puedes usar el discriminante para determinar el número y el tipo de soluciones de una ecuación.

Estudio: Resolviendo Ecuaciones con Soluciones de Distinto Tipo

1. Resuelve $x^2-8x-20=0$ usando la Fórmula Cuadrática. ¿Cuál es el valor del discriminante?

$x &=\frac{8 \pm \sqrt{{\color{red}144}}}{2}\\\&=\frac{8 \pm 12}{2} \rightarrow 10, -2$

2. Resuelve $x^2-8x+6=0$ usando la Fórmula Cuadrática. ¿Cuál es el valor del discriminante?

$x &=\frac{8 \pm \sqrt{{\color{red}0}}}{2}\\\&=\frac{8 \pm 0}{2} \rightarrow 4$

3. Resuelve $x^2-8x+20=0$ usando la Fórmula Cuadrática. ¿Cuál es el valor del discriminante?

$x &=\frac{8 \pm \sqrt{{\color{red}-16}}}{2}\\\&=\frac{8 \pm 4i}{2} \rightarrow 4 \pm 2i$

4. Observa los valores de los discriminantes de los Pasos 1-3. ¿En qué se diferencian? ¿Cómo afecta eso a la respuesta?

De este estudio podemos concluir lo siguiente:

Si $b^2-4ac > 0$ , entonces la ecuación tiene dos soluciones reales.
Si $b^2-4ac = 0$ , entonces la ecuación tiene una solución real, una doble raíz.
i $b^2-4ac < 0$ , entonces la ecuación tiene dos soluciones imaginarias.

Ejemplo A

Determina el tipo de soluciones de $4x^2-5x+17=0$ has.

Solución: Encuentra el discriminante.

$b^2-4ac &=(-5)^2-4(4)(17)\\\&=25-272$

Hasta aquí, sabemos que la respuesta será negativa, por lo que no hay necesidad de continuar (a menos que estuviésemos resolviendo el problema). Esta ecuación tiene dos soluciones imaginarias.

Ejemplo B

Resuelve la ecuación del Ejemplo 1 para comprobar que sí tiene dos soluciones imaginarias.

Solución: Usa la Fórmula Cuadrática.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-272}}{8}=\frac{5 \pm \sqrt{-247}}{8}= \frac{5}{8} \pm \frac{\sqrt{247}}{8}i$

Ejemplo C

Encuentra el valor del discriminante e indica cuántas soluciones tiene la ecuación.

$3x^2-5x-12=0$

Solución: Usa el discriminante. a = 3, b = -5, y c = -12

$\sqrt{(-5)^2 - 4(3)(-12)}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$

Esta ecuación tiene dos soluciones reales.

Revisión del Problema Introductorio Iguala la expresión $-5p^2 + 400p - 8000$ a cero y luego encuentra el discriminante.

$-5p^2 + 400p - 8000 = 0$

$b^2-4ac &=(400)^2-4(-5)(-8000)\\\&=160000-160000 = 0$

Hasta aquí, sabemos que la respuesta es cero, por ende la ecuación solo tiene una solución real. Por lo tanto, solo hay un punto de equilibrio real.

Práctica Guiada

1. Usa el discriminante para determinar los tipos de soluciones de la ecuación $-3x^2-8x+16=0$ .

2. Usa el discriminante para determinar el tipo de soluciones de la ecuación $25x^2-80x+64=0$ .

3. Resuelve la ecuación del paso #1

Respuestas

1. $b^2-4ac &=(-8)^2-4(-3)(16)\\\&=64+192\\\&=256$

Esta ecuación tiene dos soluciones reales.

2. $b^2-4ac &=(-80)^2-4(25)(64)\\\&=6400-6400\\\&=0$

Esta ecuación tiene una solución real.

3. $x = \frac{8 \pm \sqrt{256}}{-6}=\frac{8 \pm 16}{-6}=-4, \frac{4}{3}$

Vocabulario

Discriminante: Valor bajo el radical en la Fórmula Cuadrática, $b^2-4ac$ . El discriminante nos indica el número y tipo de solución(es) que tiene una ecuación cuadrática.

Práctica

Determina el número y tipo de soluciones que tiene cada ecuación.

$x^2-12x+36=0$
$5x^2-9=0$
$2x^2+6x+15=0$
$-6x^2+8x+21=0$
$x^2+15x+26=0$
$4x^2+x+1=0$

Resuelve las siguientes ecuaciones usando la Fórmula Cuadrática.

$x^2-17x-60=0$
$6x^2-20=0$
$2x^2+5x+11=0$

Desafío Determina los valores de $c$ que le dan a la ecuación: a) dos soluciones reales; b) una solución real; y c) dos soluciones imaginarias.

$x^2+2x+c=0$
$x^2-6x+c=0$
$x^2+12x+c=0$
¿Cuál es el discriminante de $x^2+2kx+4=0$ ? Escribe tu respuesta en términos de $k$ .
¿Con cuáles valores de $k$ tendrá la ecuación dos soluciones reales?
¿Con cuáles valores de $k$ tendrá la ecuación una solución real?
¿Con cuáles valores de $k$ tendrá la ecuación dos soluciones imaginarias?

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