Encuentra las Partes de una Parábola

En esta sección aprenderás a cómo encontrar los interceptos en $x-$ los vértices, el eje de simetría y los interceptos en $y-$ de una parábola.

La ganancia de la recaudación de fondos para tu escuela está representada por la expresión cuadrática $-3p^2 + 200p - 3000$ , donde p es tu punto de precio. ¿Qué punto de precio dará la máxima ganancia y qué es esa ganancia? Pista: Encuentra el vértice de la parábola.

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James Sousa: Ex 4: Graph a Quadratic Function in General Form by Finding Key Components

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Ahora que hemos encontrado las soluciones de una ecuación cuadrática, graficaremos la función. Primero, debemos introducir $y$ o $f(x)$ . Una función cuadrática se escribe como $y=ax^2+bx+c$ o $f(x)=ax^2+bx+c$ (véase la sección Encuentra el Dominio y el Rango de las Funciones ). Todas las ecuaciones cuadráticas son también funciones.

Recuerda que las soluciones de una ecuación cuadrática se encuentran cuando la ecuación está igualada a cero. Ocurre lo mismo cuando $y = 0$ . Por lo tanto, las soluciones de una ecuación cuadrática son también los ${\color{red}x-\mathbf{intercepts}}$ (interceptos en x) de aquella función cuando se grafica.

El gráfico de una ecuación cuadrática se llama ${\color{blue}\mathbf{parabola}}$ y se asemeja a la figura de la izquierda. Una parábola siempre tiene forma "U" y, dependiendo de ciertos valores, esta puede ser más amplia o más angosta. La parte más baja de la parábola, o el mínimo, se llama ${\color{green}\mathbf{vertex}}$ . Las parábolas también pueden estar boca abajo o invertidas y, en este caso, el vértice sería el máximo valor. Observa que esta parábola es simétrica con respecto a la recta vertical que pasa por el vértice. Esta recta se llama eje de simetría. . Finalmente, el punto donde la parábola pasa a través de $y-$ eje (cuando $x = 0$ ), es el ${\color{magenta}y-\mathbf{intercept}}$ .

Siemrpe que tengas el intercepto en $x-$ o lo puedas encontrar, y el vértice podrás graficar una parábola.

Estudio: Encuentra el Vértice de una Parábola

1. La ecuación de la parábola anterior es $y=x^2-2x-3$ . Encuentra $a, b,$ y $c$ . $a=1,b=-2,c=-3$

2. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice? (1, -4)

3. Crea una expresión usando $a$ y $b$ (del Paso 1) que sea igual a la $x-$ coordenada (coordenada X) del vértice. $1=\frac{-b}{2a}$

4. Reemplaza $x = 1$ en la ecuación de la parábola. ¿Cuál es el valor de $y$ ? $y = -4$

De esta investigación, hemos dado a conocer cómo encontrar el vértice de una parábola. La $x-$ coordenada (coordenada X) del vértice es $x=\frac{-b}{2a}$ . Para encontrar $y$ , reemplaza su valor en la ecuación, escrita de igual manera con forma $f\left(\frac{-b}{2a}\right)$ . $x=\frac{-b}{2a}$ es también la ecuación del eje de simetría.

Ejemplo A

Encuentra el vértice, el eje de simetría, los interceptos en $x-$ y en $y-$ de $y=-\frac{1}{2}x^2-2x+6$ .

Solución: Primero, encontremos los interceptos en $x-$ Esta ecuación es factorizable y $ac = -3$ . Los factores de -3 cuya suma es -2 son -3 y 1. Desarrolla $x-$ término y factoriza.

$-\frac{1}{2}x^2-2x+6 &=0\\\-\frac{1}{2}x^2-3x+x+6 &=0\\\-x\left(\frac{1}{2}x+3\right)+2\left(\frac{1}{2}x+3\right) &=0\\\\left(\frac{1}{2}x+3\right)(-x+2) &=0$

Al resolver para encontrar $x$ , encontramos que las intersecciones son (-6, 0) y (2, 0).

Para encontrar el vértice, usa $x=\frac{-b}{2a}$ .

Reemplaza $x=\frac{-(-2)}{2 \cdot -\frac{1}{2}}=\frac{2}{-1}=-2$ en la ecuación: $y=-\frac{1}{2}(-2)^2-2(-2)+6=-2+4+6=8$ .

Por lo tanto, el vértice es (-2, 8) y el eje de simetría es $x = -2$ .

Para encontrar el intercepto en $y-$ , $x = 0$ . $y=-\frac{1}{2}(0)^2-2(0)+6=6$ . Por lo tanto, el intercepto en $y-$ es (0, 6).

Ejemplo B

Haz un gráfico de la parábola del Ejemplo 1.

Solución: Traza el vértice y dos interceptos en $x-$ (puntos rojos). Traza los interceptos en $y-$ Ya que todas las parábolas son simétricas, el punto correspondiente al otro lado sería (-4,6). Conecta los cinco puntos para formar la parábola.

En el caso de esta parábola, el vértice es el valor máximo Si miras la ecuación, $y=-\frac{1}{2}x^2-2x+6$ , podemos observar que el valor $a$ es negativo. Cuando $a$ es negativo, los lados de la parábola apuntarán hacia abajo.

Ejemplo C

Encuentra el vértice y los interceptos en $x-$ , $y=2x^2-5x-25$ . Luego, grafica.

Solución: Primero, esta función es factorizable. $ac = -50$ . Los factores de -50 cuya suma es -5 son -10 y 5.

$2x^2-5x-25 &=0\\\2x^2-10x+5x-25 &=0\\\2x(x-5)+5(x-5) &=0\\\(2x+5)(x-5) &=0$

Al igualar ambos factores a cero, obtenemos $x = 5$ Y $-\frac{5}{2}$ .

De esto entendemos que los interceptos en $x-$ son (5, 0) y $\left(-\frac{5}{2},0\right)$ . Para encontrar el vértice, usa $x=\frac{-b}{2a}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}=\frac{5}{4}$ Ahora, encuentra $y$ . $y=2\left(\frac{5}{4}\right)^2-5\left(\frac{5}{4}\right)-25=\frac{25}{8}-\frac{25}{4}-25=-\frac{225}{8}=-28\frac{1}{8}$

El vértice es $\left(\frac{5}{4}, -28\frac{1}{8}\right)$ . Para graficar esto, debemos estimar el vértice y dibujar un plano que se ajuste a los valores. Expresado como decimal, el vértice es (1,25, -28,125).

Revisión del Problema Introductorio La máxima ganancia se refleja en el punto máximo de la parábola; por lo tanto, encuentra el vértice de $-3p^2 + 200p - 3000$ .

Para encontrar el vértice, usa $x=\frac{-b}{2a}$ .

Reemplaza $x=\frac{-(200)}{2 \cdot -3}=\frac{-200}{-6}=33.33$ en esta ecuación: $y=(-3)(33.33)^2 +(200)(33.33) -3000=-3333+6667-3000=334$ .

Por lo tanto, el vértice es (33,33, 334) y la máxima ganancia se refleja al punto de precio de US$33.33. En aquel punto de precio, la ganancia sería US$334.

Práctica Guiada

1. Encuentra los interceptos en $x-$ los interceptos en , $y-$ el vértice y eje de simetría de $y=-x^2+7x-12$ .

2. Grafica la parábola del paso #1.

3. Encuentra el vértice de $y=-4x^2+16x-17$ ¿Hacia qué lado se abre la parábola, arriba o abajo?

Respuestas

1. Esta ecuación cuadrática es factorizable.

$-(x^2-7x+12) &=0\\\-(x^2-3x-4x+12) &=0\\\-[x(x-3)-4(x-3)] &=0\\\-(x-3)(x-4) &=0$

Los interceptos en $x-$ son (3, 0) y (4, 0).

$y &=-0^2+7(0)-12\\\y &=-12$

El intercepto en $y-$ es (0, -12).

La $x-$ coordenada del vértice es $x=\frac{-7}{2(-1)}=\frac{7}{2}$ . La $y-$ coordenada es $y=-\left(\frac{7}{2}\right)^2+7\left(\frac{7}{2}\right)-12=\frac{1}{4}$ .

Por lo tanto, el vértice es $\left(\frac{7}{2}, \frac{1}{4}\right)$ y la parábola se abre hacia abajo ya que $a<0$ . El eje de simetría es $x=\frac{7}{2}$ .

2. Traza todos los puntos que encontraste en el paso #1. Luego, conecta los puntos para crear la parábola.

3. Primero, la parábola se abre hacia abajo ya que $a$ es negativo. La $x-$ coordenada del vértice es $x=\frac{-16}{2(-4)}=\frac{-16}{-8}=2$ . La $y-$ coordenada es $y=-4(2)^2+16(2)-17=-16+32-17=-1$ . Entonces, el vértice es (2, -1).

Aunque no se pregunte directamente en este problema, podemos inferir que esta parábola no atraviesa $x-$ eje, ya que apunta hacia abajo y el vértice se encuentra sobre $x-$ eje. Esto quiere decir que las soluciones eran imaginarias.

Vocabulario

Parabola: Gráfico de una ecuación cuadrática y que tiene forma de "U".

Vértice: Punto máximo o mínimo de la parábola. La $x-$ coordenada del vértice es $\frac{-b}{2a}$ .

Máximo/Mínimo: Punto más alto/bajo de una ecuación.

Intercepto(s) en $x-$: Punto(s) donde una función atraviesa el eje $x-$ . También se les conoce como soluciones, raíces o ceros.

Intercepto(s) en $y-$: Punto donde una función atraviesa el eje $y-$ Una función atravesará el eje $y-$ solo una vez.

Eje de Simetría: Recta simétrica a una parábola. El vértice siempre se ubica en esta línea.

Práctica

Encuentra el vértice de cada parábola y determina si es el punto máximo o mínimo.

$y=x^2-12x+11$
$y=x^2+10x-18$
$y=-3x^2+4x+17$
$y=2x^2-9x-11$
$y=-x^2+6x-9$
$y=-\frac{1}{4}x^2+8x-33$

Encuentra el vértice, el intercepto en $x-$ el intercepto en, $y-$ y el eje de simetría de cada ecuación cuadrática factorizable a continuación Luego, grafica cada una.

$y=x^2-12x+11$
$y=-2x^2-5x+12$
$y=\frac{1}{3}x^2+4x-15$
$y=3x^2+26x-9$
$y=-x^2+10x-25$
$y=-\frac{1}{2}x^2+5x+28$
13. Si una función no se puede factorizar, ¿Cómo encontrarías el intercepto en $x-$ ?

Encuentra el vértice y el intercepto en $x-$ de las ecuaciones cuadráticas a continuación. Luego, grafica. Estas ecuaciones no se pueden factorizar.

$y=-x^2+8x-9$
$y=2x^2-x-8$

Completa la tabla de valores para la ecuación cuadrática a continuación. Luego, traza los puntos y grafica.

$y=x^2-2x+2$ , x = 5, 3, 1, -1, -3, y -5

$y=x^2+4x+13$ , x = 4, 0, -2, -4, y -8

Respuesta Escrita ¿Qué notas de las dos parábolas de los ejercicios 16 y17? ¿Qué tipo de soluciones tienen estas funciones? Resuelve el ejercicio #16.
Respuesta Escrita ¿De cuántas maneras distintas puede una parábola intersecar el eje $x-$ ? Grafica las parábolas en un plano $x-y$ para representar las distintas soluciones posibles.
Desafío Si la $x-$ coordenada del vértice es $\frac{-b}{2a}$ para $y=ax^2+bx+c$ ,encuentra $y-$ coordenada en términos de $a, b,$ y $c$ .

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