Formas de Vértice, de Intersección y Estándar

En esta sección conocerás las distintas formas de una ecuación cuadrática.

La ganancia de la recaudación de fondos para tu escuela está representada por la expresión cuadrática $-5p^2 + 400p - 8000$ , donde p es tu punto de precio. ¿Qué punto de precio producirá la máxima ganancia y qué es esa ganancia?

Orientación

Hasta el momento, solo hemos usado la forma estándar o, $y=ax^2+bx+c$ de una ecuación cuadrática para graficar una parábola. Mediante la forma estándar, podemos encontrar el vértice y factorizar o usar la Fórmula cuadrática para encontrar los interceptos en $x-$ .La forma de intersección de una ecuación cuadrática es $y=a(x-p)(x-q)$ , donde $a$ is the same value tiene el mismo valor que en la forma estándar y $p$ y $q$ son los interceptos en $x-$ .Esta forma luce muy similar a una ecuación cuadrática factorizada.

Ejemplo A

Transforma $y=2x^2+9x+10$ a la forma de intersección y encuentra el vértice. Grafica la parábola.

Solución: Primero, cambiemos esta ecuación a la forma de intersección mediante la factorización. $ac = 20$ y los factores de 20 cuya suma es 9 son 4 y 5. Desarrolla el término $x-$ .

$y &=2x^2+9x+10\\\y &=2x^2+4x+5x+10\\\y &=2x(x+2)+5(x+2)\\\y &=(2x+5)(x+2)$

Observa que esto no luce exactamente como en la definición. Los factores no pueden tener un número delante de $x$ . Despeja el 2 del primer factor para obtener $y=2\left(x+\frac{5}{2}\right)(x+2)$ . Ahora, encuentra el vértice. Recuerda que todas las parábolas son simétricas. Esto quiere decir que el eje de simetría está en la mitad entre los interceptos en $x-$ y su promedio.

$\text{axis of symmetry} = \frac{p+q}{2}= \frac{-\frac{5}{2}-2}{2}= -\frac{9}{2} \div 2 = -\frac{9}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{9}{4}$

Esta es también la $x-$ coordenada (coordenada X) del vértice. Para encontrar la $y-$ coordenada (coordenada Y), reemplaza el $x-$ valor (valor x) en ambas formas de la ecuación cuadrática. Usaremos la forma de intersección.

$y &=2\left(-\frac{9}{4}+\frac{5}{2}\right)\left(-\frac{9}{4}+2\right)\\\y &=2\cdot\frac{1}{4}\cdot-\frac{1}{4}\\\y &=-\frac{1}{8}$

El vértice es $\left(-2\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}\right)$ . Marca los interceptos en $x-$ y el vértice para graficar.

La última forma es la forma de vértice. La forma de vértice se escribe como $y=a(x-h)^2+k$ , donde $(h, k)$ es el vértice y $a$ s igual que en las otras dos formas. Observa que $h$ es negativa en la ecuación, pero es positiva cuando se escribe en las coordenadas del vértice.

Ejemplo B

Encuentra el vértice de $y=\frac{1}{2}(x-1)^2+3$ a la forma de vértice.

Solución: El vértice será (1,3). Para graficar esta parábola, úsalas propiedades simétricas de la función. Escoge un valor del lado izquierdo del vértice. Si $x = -3$ , entonces $y=\frac{1}{2}(-3-1)^2+3=11$ . -3 está a 4 unidades de 1 (la $x-$ coordenada del vértice). 4 unidades al otro lado del 1 está el 5. Por lo tanto, la $y-$ coordenada (coordenada Y) será 11. Traza las coordenadas (1, 3), (-3, 11) y (5, 11) para graficar la parábola.

Ejemplo C

Transforma $y=x^2-10x+16$ a la forma de vértice.

Solución: Para transformar una ecuación de forma estándar a forma de vértice, debes completar el cuadrado. Revisa la sección Completa el Cuadrado si es necesario. La mayor diferencia es que no tendrás que resolver esta ecuación.

$y &=x^2-10x+16\\\y-16+{\color{red}25} &=x^2-10x+{\color{red}25} \quad \text{Move 16 to the other side and add} \ \left(\frac{b}{2}\right)^2 \text{to both sides}.\\\y+9 &=(x-5)^2 \qquad \quad \ \ \text{Simplify left side and factor the right side}\\\y &=(x-5)^2-9 \qquad \text{Subtract 9 from both sides to get} \ y \ \text{by itself}.$

Resuelve una ecuación en forma de vértice, iguala $y = 0$ y resuelve para encontrar $x$ .

$(x-5)^2-9 &=0\\\(x-5)^2 &=9\\\x-5 &=\pm 3\\\x &=5 \pm 3 \ or \ 8 \ and \ 2$

Revisión del Problema Introductorio El vértice nos dará el punto de precio que producirá la ganancia máxima y aquella ganancia; por lo tanto, transformemos esta ecuación a la forma de intersección mediante la factorización. Primero, factoriza el -5.

$-5p^2 + 400p - 8000 = -5(p^2 - 80p + 1600)\\\-5(p - 40)(p - 40)$

Aquí podemos observar que los interceptos en x son 40 y 40. El promedio de 40 y 40 es 40; por lo tanto, reemplazamos el número 40 en la ecuación original.

$-5(40)^2 + 400(40) - 8000 = -8000 + 16000 - 8000 = 0$

Por lo tanto, el punto de precio que produce la máxima ganancia es $40 y aquel punto de precio resulta en una ganancia de $0. No estás haciendo dinero, ¡Así que mejor replantea tu estrategia de recaudación de fondos!

Práctica Guiada

1. encuentra los interceptos de $y=2(x-7)(x+2)$ y transfórmalo a la forma estándar.

2. Encuentra el vértice de $y = -\frac{1}{2}(x+4)^2-5$ y transfórmalo a la forma estándar.

3. Transforma $y=x^2+18x+45$ a la forma de intersección y grafica.

4. Transforma $y=x^2-6x-7$ a la forma de vértice y grafica.

Respuestas

1. Las intersecciones son los signos opuestos de los factores; (7, 0) y (-2, 0). Para transformar la ecuación a forma estándar, plica el método PIES a los factores y distribuye $a$ .

$y &=2(x-7)(x+2)\\\y &=2(x^2-5x-14)\\\y &=2x^2-10x-28$

2. El vértice es (-4, -5). Para transformar la ecuación a forma estándar, aplica el método PIES a $(x+4)^2$ , distribuye $a$ , y luego resta 5.

$y &=-\frac{1}{2}(x+4)(x+4)-5\\\y &=-\frac{1}{2}(x^2+8x+16)-5\\\y &=-\frac{1}{2}x^2-4x-21$

3. Para transformar $y=x^2+18x+45$ a la forma de intersección, factoriza la ecuación. Los factores de 45 cuya suma es 18 son 15 y 3. La forma de intersección sería $y = (x+15)(x+3)$ . Las intersecciones son (-15, 0) y (-3, 0). La coordenada $x-$ del vértice está a la mitad entre-15 y -3, o -9. La coordenada $y-$ del vértice es $y=(-9)^2+18(-9)+45=-36$ . Este es el gráfico:

4. Para transformar $y=x^2-6x-7$ a la forma de vértice, completa el cuadrado.

$y+7+9 &=x^2-6x+9\\\y+16 &=(x-3)^2 \\\y &=(x-3)^2-16$

El vértice es (3, -16).

En el caso de la forma de vértice, podemos resolver la ecuación usando raíces cuadradas o también podemos simplificar la forma estándar. De cualquier modo, obtendremos que los interceptos en $x-$ son (7, 0) y (-1, 0).

Vocabulario

Forma Estándar: $y=ax^2+bx+c$

Forma de Intersección: $y=a(x-p)(x-q)$ , donde $p$ y $q$ son los interceptos en $x-$

Forma de Vértice: $y=a(x-h)^2+k$ , donde $(h, k)$ es el vértice.

Práctica

Completa la tabla a continuación. Describe como encontrar cada elemento o usa una fórmula

Encuentra el vértice y los interceptos en $x-$ de cada una de las funciones a continuación. Luego, grafica la función. Si la función no tiene interceptos en $x-$ entonces usa la propiedad simétrica de las parábolas para encontrar puntos en el gráfico.

$y=(x-4)^2-9$
$y=(x+6)(x-8)$
$y=x^2+2x-8$
$y=-(x-5)(x+7)$
$y=2(x+1)^2-3$
$y=3(x-2)^2+4$
$y=\frac{1}{3}(x-9)(x+3)$
$y=-(x+2)^2+7$
$y=4x^2-13x-12$

Transforma las siguientes ecuaciones a la forma de intersección.

$y=x^2-3x+2$
$y=-x^2-10x+24$
$y=4x^2+18x+8$

Transforma las siguientes ecuaciones a la forma de vértice.

$y=x^2+12x-28$
$y=-x^2-10x+24$
$y=2x^2-8x+15$

Transforma las siguientes ecuaciones a la forma estándar.

$y=(x-3)^2+8$
$y=2\left(x-\frac{3}{2}\right)(x-4)$
$y=-\frac{1}{2}(x+6)^2-11$

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