Diseño de Gráficos con Funciones Cuadráticas

En esta sección aprenderás a cómo encontrar la ecuación cuadrática apropiada para un conjunto de datos.

En vuelos con gravedad reducida, los aviones vuelan en grandes arcos parabólicos. Determina la ecuación cuadrática que mejor se integre al conjunto de datos a continuación, el cual representa el arco en el que vuela el avión.

$x$ (Tiempo en Seg.)	0	20	33	45
$y$ (Altitud a 1000 pies)	24	29	33	29

Fuente: Nasa.gov ( http://www.nasa.gov/audience/forstudents/5-8/features/what-is-microgravity-58.html)

Mira Esto

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James Sousa: Ex: Quadratic Regression on the TI84 - Stopping Distance

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Cuando se encuentra la ecuación de una parábola, puedes usar cualquiera de las tres formas. Si se te es dado el vértice o cualquier otro punto, solo necesitas dos puntos para encontrar la ecuación. Sin embargo, si no se te es dado el vértice debes tener al menos tres puntos para encontrar la ecuación de una parábola.

Ejemplo A

Encuentra la ecuación de la parábola con el vértice (-1, -4) y los puntos por donde pasa la parábola (2, 8).

Solución: Usa la forma de vértice y sustituye -1 por $h$ y -4 por $k$ .

$y &=a(x-(-1))^2-4\\\y &=a(x+1)^2-4$

Ahora, toma el segundo punto y sustituye $x$ y $y$ y resuelve para encontrar $a$ .

$8 &=a(2+4)^2-4\\\12 &=36a\\\\frac{1}{3} &=a$

La ecuación es $y=\frac{1}{3}(x+1)^2-4$ .

La ecuación es Análisis de Gráficas de Dispersión también podemos integrar un conjunto a una ecuación cuadrática. En esta sección, usaremos la regresión cuadrática y una calculadora gráfica TI-83/84.

Ejemplo B

Determina la ecuación cuadrática que se integre mejor al conjunto de datos a continuación.

$x$	0	4	7	12	17
$y$	7	9	10	8	3

Solución: Debemos ingresar las $x-$ coordenadas como una lista de datos y las $y-$ coordenadas como otra lista aparte.

1. Presiona STAT.

2. En la opción EDIT, selecciona 1:Edit…. Presiona ENTER.

3. Aparecerá la tabla "Lista". Si hay cualquier otra lista, deberás borrarlas. Para hacer esto, mueve el cursor hasta L1 con tal que marcado (negro). Presiona BORRAR, luego ENTER. Repite el proceso con L2 si fuese necesario.

4. Ahora, ingresa los datos a las listas. Primero, ingresa todos los elementos $(x)$ y presiona ENTER entre cada elemento que ingreses. Luego, repite el proceso pero esta vez con L2 e $y$ .

5. Presiona $2^{nd}$ MODE (QUIT).

Ahora que tenemos todo en las listas, podemos aplicar la regresión cuadrática para determinar la ecuación que mejor se integre.

6. Presiona el botón STAT y luego mueve el cursor al menú CALC.

7. Selecciona la opción 5:QuadReg. Presiona ENTER.

8. Volverás a la pantalla principal. Escribe (L1,L2) Volverás a la pantalla principal. Escribe ENTER. L1 es $2^{nd}$ 1, L2 es $2^{nd}$ 2.

9. Aparecerá lo siguiente en la pantalla. La ecuación que mejor se integra es $y=-0.64x^2+0.86x+6.90$ .

Si quieres trazar la ecuación en el gráfico de dispersión, sigue los pasos de la sección Encuentra la Ecuación que Mejor se Integra usando una Calculadora Gráfica .El gráfico de dispersión y la parábola están hacia la derecha.

Esta técnica se puede aplicar a problemas reales. Además, puedes usar una técnica para encontrar la ecuación de cualquier parábola, dados tres puntos.

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (1, 11), (2, 20), (-3, 75).

Solución: Puedes seguir los mismos pasos del Ejemplo 2 para encontrar la ecuación de la parábola. Si lo haces, la ecuación que deberías $y=5x^2-6x+12$ .

Este problema puede también realizarse resolviendo tres ecuaciones, con tres incógnitas. Si reemplazamos los puntos $(x, y)$ en la ecuación $y=ax^2+bx+c$ , obtenemos:

$11 &=a+b+c\\\20 &=4a+2b+c\\\75 &=9a-3b+c$

Usa combinaciones lineales para resolver este sistema de ecuaciones (véase la sección Resuelve un Sistema en Tres Variables Usando Combinaciones Lineales ). Este problema será resuelto en el Conjunto de Problemas.

Revisión del Problema Introductorio Usa tu calculadora para encontrar la ecuación cuadrática que mejor se integre a la tabla.

$x$ (Tiempo en Seg.)	0	20	33	45
$y$ (Altitud a 1000 pies)	24	29	33	29

$y = -0.0081x^2 + 0.495x + 23.6987$ es la ecuación cuadrática que mejor se integra al conjunto de datos.

Práctica Guiada

1. Encuentra la ecuación de la parábola con los interceptos en $x-$ (4, 0) y (-5, 0) que pasan por (-3, 8).

2. Un estudio comparó la velocidad $x$ (en millas por hora) y la economía de combustible promedio , $y$ (en millas por galón) de un automóvil deportivo. Estos son los resultados.

velocidad	30	40	50	55	60	65	70	80
ahorro de combustible	11.9	16.1	21.1	22.2	25.0	26.1	25.5	23.2

Traza el gráfico de dispersión y usa tu calculadora para encontrar la ecuación que mejor se integre.

Respuestas

1. Ya que nos dan las intersecciones, usa la forma de intersección para encontrar la ecuación.

$y =a(x-4)(x+5)$ Reemplaza (-3,8) en la ecuación y resuelve para encontrar $a$

$8 &=a(-3-4)(-3+5)\\\8 &=-14a\\\-\frac{4}{7} &=a$

La ecuación de la parábola es $y=- \frac{4}{7}(x-4)(x+5)$ .

2. Al trazar los puntos, obtenemos:

Aplicando los pasos del Ejemplo 2, la ecuación de regresión cuadrática es $y=-0.009x^2+1.24x-18.23$ .

Vocabulario

Regresión Cuadrática: Proceso por el cual la ecuación que mejor se integra es una ecuación cuadrática.

Práctica

Encuentra la ecuación de la parábola según los puntos dados. No respondas con decimales.

vértice: (-1, 1) punto: (1, -7)
intercepto en $x-$ : -2, 2 punto: (4, 3)
vértice: (9, -4) punto: (5, 12)
intercepto en $x-$ : 8, -5 punto: (3, 20)
intercepto en $x-$ : -9, -7 punto: (-3, 36)
vértice: (6, 10) punto: (2, -38)
vértice: (-4, -15) punto: (-10, 1)
vértice: (0, 2) punto: (-4, -12) )
intercepto en $x-$ 3, 16 punto: (7, 24)

Usa una calculadora gráfica para encontrar la ecuación cuadrática (en forma estándar) que pase por los tres puntos dados. No respondas con decimales.

(-4, -51), (-1, -18), (4, -43)
(-5, 131), (-1, -5), (3, 51)
(-2, 9), (2, 13), (6, 41)
Desafío Termina de calcular el Ejemplo 3 usando combinaciones lineales.

Para las preguntas sobre gráficas de cuadráticas a continuación, usa una calculadora gráfica. Aproxima toda respuesta decimal al centésimo más cercano.

La superficie de obstáculo tiene la forma de una parábola. Realiza un gráfico cuadrático de la superficie del obstáculo enseñado.
Conexión con la Física y la fotografía Tu profesor de física te da como trabajo hacer un proyecto que consiste en analizar un tiro parabólico. Ya sabes que, cuando alguien lanza una pelota de fútbol, el trayecto es una parábola. Con la ayuda de tu cámara, tomas una foto panorámica de un de un amigo lanzando una pelota de fútbol. A continuación, verás un esbozo de la foto Colocaste la trayectoria de la pelota sobre una cuadrícula, con el eje $x-$ como la distancia horizontal y el $y-$ eje como la altura. El punto de lanzamiento, o altura del hombro, de tu amigo es de 5 pies de altura y 3 pies de distancia horizontal; con esto en mente, estimas que la altura máxima es de 23 pies. Encuentra la ecuación de la parábola.
Un estudio independiente se realizó de tal modo que se estableció una relación entre la publicidad y la compra de un objeto. Se encuestaron 400 domicilios después de un periodo de exposición comercial de una semana. Observa el conjunto de datos a continuación.

# de veces que se muestra el comercial, $x$	1	7	14	21	28	35	42	49
# de hogares que compran el artículo, $y$	2	25	96	138	88	37	8	6

a) Encuentra la ecuación cuadrática que mejor se integre.

b) ¿Por qué crees que la cantidad de hogares que compraron el producto decayó después de estar más expuestos al comercial?