Propiedades del Producto y del Cociente de los Exponentes

En esta sección usarás y entenderás las propiedades del producto y del cociente de los exponentes.

Miguel dice que la expresión $\frac{2^5 \cdot 2^4}{2^2}$ es igual a $2^{10}$ .

Alise dice que es igual a $2^7$ .

Carlos dice que, debido a que los exponentes del planteamiento son diferentes, la expresión no se puede simplificar.

¿Quién está en lo correcto?

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James Sousa: Properties of Exponents

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Orientación

Para repasar, la potencia (o exponente) de un número es el pequeño número en el superíndice. El número que se eleva a la potencia se llama base . El exponent indica cuantas veces la base debe multiplicare por sí misma.

Los exponentes tienen muchas propiedades. Investigaremos dos en esta sección.

Ejemplo A

Desarrolla y resuelve $5^6$ .

Solución: $5^6$ significa 5 multiplicado por sí mismo seis veces.

$5^6 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 15,625$

Investigación: Propiedad del Producto

1. Desarrolla $3^4 \cdot 3^5$ .

$\underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{3^4} \cdot \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{3^5}$

2. Rescribe este desarrollo como una potencia de tres.

$3^9$

3. ¿Cuál es la suma de los exponentes?

$4 + 5 = 9$

4. Llena los espacios vacíos: $a^m \cdot a^n = a^{-^+-}$

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

En vez de desarrollar los exponentes en cada caso, o encontrar las potencias por separado, podemos usar esta propiedad para simplificar el producto de dos exponentes con la misma base.

Ejemplo B

Simplifica:

(a) $x^3 \cdot x^8$

(b) $xy^2 x^2 y^9$

Solución: Usa la Propiedad del Producto que usaste anteriormente.

(a) $x^3 \cdot x^8 = x^{3+8} = x^{11}$

(b) Si un número no tiene un exponente, puedes asumir que su exponente es 1. Reorganiza esta expresión para que las $x$ s estén juntas y las $y$ s estén juntas.

$xy^2 x^2 y^9 = x^1 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot y^9 = x^{1+2} \cdot y^{2+9} = x^3 y^{11}$

Investigación: Propiedad del Cociente

1. Desarrolla $2^8 \div 2^3$ . Además, rescríbelo como una fracción.

$\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2}$

2. Cancela los factores comunes y escribe la respuesta como una potencia de 2.

$\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}} = 2^5$

3. ¿Cuál es la diferencia de los exponentes?

$8 - 3 = 5$

4. Llena los espacios vacíos: $\frac{a^m}{a^n} = a^{-^--}$

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Ejemplo C

Simplifica:

(a) $\frac{5^9}{5^7}$

(b) $\frac{x^4}{x^2}$

Solución: Usa la Propiedad del Cociente que usaste anteriormente.

(a) $\frac{5^9}{5^7} = 5^{9-7} = 5^2 = 25$

(b) $\frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2$

Revisión del Problema Introductorio Al usar la Propiedad del Producto y luego la Propiedad del Cociente, la expresión se puede simplificar.

$\frac{2^5 \cdot 2^4}{2^2}\\\= \frac{2^9}{2^2}\\\= 2^7$

Por lo tanto, Alise está en lo correcto.

Práctica Guiada

Simplifica las siguientes expresiones. Calcula todas las respuestas numéricas.

1. $7 \cdot 7^2$

2. $\frac{3^7}{3^3}$

3. $\frac{16x^4 y^5}{4x^2 y^2}$

Respuestas

1. $7 \cdot 7^2 = 7^{1+2} = 7^3 = 343$

2. $\frac{3^7}{3^3} = 3^{7-3} = 3^4 = 81$

3. $\frac{16x^4 y^5}{4x^2 y^2} = 4x^{4-2} y^{5-3} = 4x^2 y^2$

Vocabulario

Propiedad del Producto de la Potencia: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Propiedad del Cociente de la Potencia: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}; a \ne 0$

Práctica

Desarrolla los siguientes números y calcula.

$2^6$
$10^3$
$(-3)^5$
$(0.25)^4$