Exponentes Negativos y Cero

En esta sección calcularás y usarás exponentes negativos y cero.

La magnitud de un terremoto se representa en el exponente m en la expresión $10^m$ .

La ciudad de Valdivia, en Chile, ha sufrido dos grandes terremotos. El terremoto de Valdivia de 1575 tuvo una magnitud de 8,5. El terremoto más grande del mundo fue el terremoto de Valdivia de 1960 con una magnitud de 9,5.

¿Cuál fue la intensidad del terremoto de 1575, comparada con el de 1960?

Fuente: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_earthquakes

Orientación

En esta sección, introduciremos exponentes negativos y cero. Primero, abordemos un cero en el exponente a través de una investigación.

Investigación: Exponentes Cero

1. Calcula $\frac{5^6}{5^6}$ usando la propiedad del Cociente de la Potencia.

$\frac{5^6}{5^6} = 5^{6-6} = 5^0$

2. ¿Qué resulta de un número dividido por sí mismo? Aplica esto al ejercicio número 1.

$\frac{5^6}{5^6} = 1$

3. Llena los espacios vacíos. $\frac{a^m}{a^m} = a^{m-m} = a^- = _-$

$a^0 = 1$

Investigación: Exponentes Negativos

1. Desarrolla $\frac{3^2}{3^7}$ y cancela los 3s en común y escribe tu respuesta con exponentes positivos.

$\frac{3^2}{3^7} = \frac{\cancel{3} \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot \cancel{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3^5}$

2. Desarrolla $\frac{3^2}{3^7}$ usando la propiedad del Cociente de la Potencia.

$\frac{3^2}{3^7} = 3^{2-7} = 3^{-5}$

3. ¿Las respuestas del ejercicio 1 y del ejercicio 2 son iguales? Escríbelas en un solo enunciado.

$\frac{1}{3^5} = 3^{-5}$

4. Llena los espacios vacíos. $\frac{1}{a^m} = a-$ y $\frac{1}{a^{-m}} = a-$

$\frac{1}{a^m} = a^{-m}$ y $\frac{1}{a^{-m}} = a^m$

A partir de las dos investigaciones anteriores, hemos aprendido dos propiedades muy importantes de los exponentes. Primero, cualquier número elevado a la potencia cero es uno. Segundo, los exponentes negativos indican una disposición. Si un exponente es negativo, necesita moverse de donde está al numerador o denominador. Investigaremos esta propiedad más adelante en el Conjunto de Problemas.

Ejemplo A

Simplifica las siguientes expresiones. Tu respuesta debe tener solo exponentes positive .

(a) $\frac{5^2}{5^5}$

(b) $\frac{x^7 yz^{12}}{x^{12} yz^7}$

Solución: Usa las dos propiedades que aprendiste anteriormente. Una manera sencilla para analizar dónde debería ir el "residuo" es mirar la fracción y determinar cuál exponente es más grande. Por ejemplo, en $b$ , hay más $x$ en el denominador, por lo que el residuo debe ir ahí.

(a) $\frac{5^2}{5^5} = 5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$

(b) $\frac{x^7 yz^{12}}{x^{12} yz^7} = \frac{y^{1-1} z^{12-7}}{x^{12-7}} = \frac{y^0 z^5}{x^5} = \frac{z^5}{x^5}$

Método Alternativo : Parte c

$\frac{a^4 b^0}{a^8 b} = \frac{1}{a^{8-4} b} = \frac{1}{a^4 b}$

Ejemplo B

Simplifica las expresiones. Tu respuesta debería tener solo exponentes positivos

(a) $\frac{xy^5}{8y^{-3}}$

(b) $\frac{27 g^{-7} h^0}{18 g}$

Solución: En estas expresiones, necesitarás mover el exponente negativo al numerador o denominador y luego transformarlo a un exponente positivo para poder calcular. También simplifica todas las fracciones numéricas.

(a) $\frac{xy^5}{8y^{-3}} = \frac{xy^5 y^3}{8} = \frac{xy^{5+3}}{8} = \frac{xy^8}{8}$

(b) $\frac{27 g^{-7} h^0}{18 g} = \frac{3}{2g^1 g^7} = \frac{3}{2g^{1+7}} = \frac{3}{2g^8}$

Ejemplo C

Multiplica las dos fracciones y simplifica. Tu respuesta debería tener solo exponentes positivos .

$\frac{4x^{-2} y^5}{20x^8} \cdot \frac{-5x^6 y}{15y^{-9}}$

Solución: La forma más fácil para abordar este problema es multiplicar las dos fracciones primero y luego simplificar.

$\frac{4x^{-2} y^5}{20x^8} \cdot \frac{-5x^6 y}{15y^{-9}} = -\frac{20x^{-2+6} y^{5+1}}{300x^8 y^{-9}} = -\frac{x^{-2+6-8}y^{5+1+9}}{15} = -\frac{x^{-4} y^{15}}{15} = -\frac{y^{15}}{15x^4}$

Revisión del Problema Introductorio

Establece la magnitud de cada terremoto como una expresión exponencial y divide.

$\frac{10^{8.5}}{10^{9.5}}\\\= 10^{-1}\\\= \frac{1}{10^1}\\\= \frac{1}{10}$

Por lo tanto, la intensidad del terremoto de 1575 fue $\frac{1}{10}$ del de 1960.

Práctica Guiada

Simplifica las expresiones.

1. $\frac{8^6}{8^9}$

2. $\frac{3x^{10} y^2}{21x^7 y^{-4}}$

3. $\frac{2a^8 b^{-4}}{16a^{-5}} \cdot \frac{4^3 a^{-3} b^0}{a^4 b^7}$

Respuestas

1. $\frac{8^6}{8^9} = 8^{6-9} = \frac{1}{8^3} = \frac{1}{512}$

2. $\frac{3x^{10} y^2}{21x^7 y^{-4}} = \frac{x^{10-7} y^{2-(-4)}}{7} = \frac{x^3 y^6}{7}$

3. $\frac{2a^8 b^{-4}}{16a^{-5}} \cdot \frac{4^3 a^{-3} b^0}{a^4 b^7} = \frac{128a^{8-3} b^{-4}}{16a^{-5+4} b^7} = \frac{8a^{5+1}}{b^{7+4}} = \frac{8a^6}{b^{11}}$

Vocabulario

Propiedad del Exponente Cero: $a^0 = 1, a \neq 0$

Propiedad del Exponente Negativo: $\frac{1}{a^m} = a^{-m}$ and $\frac{1}{a^{-m}} = a^m, a \neq 0$

Práctica

Simplifica las siguientes expresiones. Las respuestas no pueden tener exponentes negativos.

$\frac{8^2}{8^4}$
$\frac{x^6}{x^{15}}$
$\frac{7^{-3}}{7^{-2}}$
$\frac{y^{-9}}{y^{10}}$
$\frac{x^0 y^5}{xy^7}$
$\frac{a^{-1} b^8}{a^5 b^7}$
$\frac{14c^{10} d^{-4}}{21c^6 d^{-3}}$
$\frac{8g^0 h}{30g^{-9} h^2}$
$\frac{5x^4}{10y^{-2}} \cdot \frac{y^7 x}{x^{-1} y}$
$\frac{g^9 h^5}{6gh^{12}} \cdot \frac{18h^3}{g^8}$
$\frac{4a^{10} b^7}{12a^{-6}} \cdot \frac{9a^{-5} b^4}{20a^{11} b^{-8}}$
$\frac{-g^8 h}{6g^{-8}} \cdot \frac{9g^{15} h^9}{-h^{11}}$
Rescribe las siguientes muestras exponenciales con exponentes positivos: $5^{-4}, 5^{-3}, 5^{-2}, 5^{-1}, 5^0, 5^1, 5^2, 5^3, 5^4$ .
Calcula cada uno de los términos en las muestras del ejercicio número 13.
Llena los espacios vacíos.

A medida que el número aumenta ______________ el término anterior por 5.

A medida que el número disminuye, _____________ el término anterior por 5.

Prev Next