Propiedades de Potencia de los Exponentes

En esta sección descubrirás y usarás las propiedades de potencia de los exponentes.

Hay 1.000 bacterias presentes en un cultivo. Cuando se trata el cultivo con antibióticos, las bacterias se reducen a la mitad cada 4 horas. ¿Cuántas bacterias quedarán luego de 24 horas?

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James Sousa: Properties of Exponents

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

El último conjunto de propiedades que investigaremos son las propiedades de potencia. Investiguemos qué sucede cuando una potencia es elevada a otra potencia.

Investigación: Propiedad de la Potencia de una Potencia

1. Rescribe $(2^3)^5$ como cinco veces $2^3$ .

$(2^3)^5 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3$

2. Desarrolla cada $2^3$ . ¿Cuántos dos hay?

$(2^3)^5 = \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{2^3} \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{2^3} \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{2^3} \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{2^3} \cdot \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2}_{2^3} = 2^{15}$

3. .¿Cuál es el producto de las potencias?

$3 \cdot 5 = 15$

4. Llena los espacios vacíos. $(a^m)^n = a^{-^\cdot-}$

$(a^m)^n = a^{mn}$

Las otras dos propiedades de los exponentes son una forma de la propiedad distributiva.

Propiedad de la Potencia de un Producto: $(ab)^m = a^m b^m$

Propiedad de la Potencia de un Cociente: $\left( \frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m}$

Ejemplo A

Simplifica lo siguiente.

(a) $(3^4)^2$

(b) $(x^2 y)^5$

Solución: Usa las nuevas propiedades anteriormente mencionadas.

(a) $(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 = 6561$

(b) $(x^2 y)^5 = x^{2 \cdot 5} y^5 = x^{10} y^5$

Ejemplo B

Simplifica $\left( \frac{3a^{-6}}{2^2 a^2} \right)^4$ sin exponentes negativos.

Solución: Este ejemplo usa la Propiedad del Exponente Negativo de la sección anterior. Distribuye la $4^{th}$ potencia primero y luego mueve la potencia negativa de $a$ del numerador al denominador.

$\left( \frac{3a^{-6}}{2^2 a^2} \right)^4 = \frac{3^4 a^{-6 \cdot 4}}{2^{2 \cdot 4} a^{2 \cdot 4}} = \frac{81a^{-24}}{2^8 a^8} = \frac{81}{256a^{8+24}} = \frac{81}{256a^{32}}$

Ejemplo C

Simplifica $\frac{4x^{-3} y^4 z^6}{12x^2 y} \div \left( \frac{5xy^{-1}}{15x^3 z^{-2}} \right)^2$ sin exponentes negativos.

Solución: Este ejemplo definitivamente muestra lo difícil que pueden llegar a ser estos problemas. Aquí, usarás todas las propiedades de los exponentes. Recuerda que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicarla por su recíproco.

$\frac{4x^{-3} y^4 z^6}{12x^2 y} \div \left( \frac{5xy^{-1}}{15x^3 z^{-2}} \right)^2 &= \frac{4x^{-3} y^4 z^6}{12x^2 y} \cdot \frac{225x^6 z^{-4}}{25x^2 y^{-2}}\\\&= \frac{y^3 z^6}{3x^5} \cdot \frac{9x^4 y^2}{z^4}\\\&= \frac{3x^4 y^5 z^6}{x^5 z^4}\\\&= \frac{3y^5 z^2}{x}$

Revisión del Problema Introductorio Para encontrar el número de bacterias que quedan, usamos la expresión exponencial $1000 (\frac{1}{2})^n$ donde n es el número de períodos de cuatro horas.

Hay 6 períodos de cuatro horas en 24 horas, por lo tanto establecemos n igual a 6 y resolvemos.

$1000 (\frac{1}{2})^6$

Si aplicamos la Propiedad de la Potencia de un Cociente, obtenemos:

$1000 (\frac{1^6}{2^6}) = \frac {1000 \cdot 1}{2^6} = \frac {1000}{64} = 15.625$

Por lo tanto, quedan 15,625 bacterias después de 24 horas.

Práctica Guiada

Simplifica las siguientes expresiones sin exponentes negativos.

1. $\left( \frac{5a^3}{b^4} \right)^7$

2. $(2x^5)^{-3} (3x^9)^2$

3. $\frac{(5x^2 y^{-1})^3}{10y^6} \cdot \left( \frac{16x^8 y^5}{4x^7} \right)^{-1}$

Respuestas

1. Distribuye el 7 a cada potencia dentro de los paréntesis.

$\left( \frac{5a^3}{b^4} \right)^7 = \frac{5^7 a^{21}}{b^{28}} = \frac{78,125a^{21}}{b^{28}}$

2. Distribuye el -3 y el 2 a sus respectivos paréntesis y luego usa las propiedades del exponente negativo, del cociente y las propiedades del producto para simplificar.

$(2x^5)^{-3} (3x^9)^2 = 2^{-3} x^{-15} 3^2 x^{18} = \frac{9x^3}{8}$

3. Distribuye los exponentes que están fuera del paréntesis y usa las otras propiedades de los exponentes para simplificar. Cada vez que una fracción es elevada a la potencia de -1, es igual al recíproco de la fracción a la primera potencia.

$\frac{\left(5x^2 y^{-1}\right)^3}{10y^6} \cdot \left( \frac{16x^8 y^5}{4x^7} \right)^{-1} &= \frac{5^3 x^{-6} y^{-3}}{10y^6} \cdot \frac{4x^7}{16x^8 y^5}\\\&= \frac{500xy^{-3}}{160x^8 y^{11}}\\\&= \frac{25}{8x^7 y^{14}}$

Vocabulario

Propiedad de la Potencia de una Potencia: $(a^m)^n = a^{mn}$

Propiedad de la Potencia de un Producto: $(ab)^m = a^m b^m$

Propiedad de la Potencia de un Cociente: $\left( \frac{a}{b} \right)^m = \frac{a^m}{b^m}$

Práctica