Sumar y Restar Polinomios

En esta sección aprenderás cómo sumar y restar polinomios, además de aprender acerca de las diferentes partes de un polinomio.

El prisma rectangular A tiene un volumen de $x^3 +2x^2 - 3$ . El prisma rectangular B tiene un volumen de $x^4 + 2x^3 - 8x^2$ . ¿Cuánto más grande es el volumen del prisma rectangular B en comparación al prisma rectangular A?

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James Sousa: Ex: Intro to Polynomials in One Variable

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Un polinomio es una expresión con múltiples términos variables, en la que los exponentes son mayores o iguales a cero. Todas las ecuaciones cuadráticas y lineales son polinómicas. Las ecuaciones con exponentes negativos, raíces cuadradas o variables en el denominador no son polinómicas.

Ahora que hemos establecido lo que es un polinomio, hay unas cuantas partes importantes. Tal como pasa con una ecuación cuadrática, una ecuación polinómica puede tener una constante , wque es un número sin una variable. El grado de un polinomio es el exponente máximo. Por ejemplo, todas las ecuaciones cuadráticas tienen un grade de 2. Por último, el coeficiente principal es el coeficiente de la variable que tiene el grado. En el polinomio $4x^4 + 5x^3 -8x^2 + 12x +24$ el grado es 4 y el coeficiente principal también es 4. Debes estar seguro de que cuando encuentres el grado y el coeficiente principal tengas el polinomio en su forma estándar. La forma estándar agrupa todas las variables en orden, del mayor al menor.

Ejemplo A

Rescribe $x^3 -5x^2 + 12x^4 + 15 -8x$ en su forma estándar y encuentra el grado y el coeficiente principal.

Solución: Para rescribirlo en su forma estándar, pon cada término en orden, del mayor al menor, de acuerdo a los exponentes. Siempre escribe la constante al final.

$x^3 -5x^2 + 12x^4 + 15 -8x \rightarrow 12x^4 + x^3 -5x^2 -8x + 15$

Ahora, es sencillo encontrar el coeficiente principal, 12, y el grado, 4.

Ejemplo B

Simplifica $(4x^3 -2x^2 + 4x + 15) + (x^4 -8x^3 -9x-6)$

Solución: Para sumar o restar dos polinomios, combina los términos similares. Los términos similares son cualquier término en donde los exponentes de la variable sean iguales. Reagruparemos el polinomio para mostrar los términos similares.

$& (4x^3 -2x^2 + 4x + 15) + (x^4 -8x^3 -9x -6)\\\& x^4 + (4x^3 -8x^3) -2x^2 + (4x -9x) + (15-6)\\\& x^4 -4x^3 -2x^2 -5x + 9$

Ejemplo C

Simplifica $(2x^3 + x^2 -6x -7)-(5x^3 -3x^2 + 10x -12)$

Solución: Cuando restas, distribuye el signo negativo a cada término en el segundo polinomio, luego combina los términos similares.

$& (2x^3 + x^2 -6x -7)-(5x^3 -3x^2 +10x -12)\\\& 2x^3 + x^2 -6x -7 -5x^3 + 3x^2 -10x + 12\\\& (2x^3 -5x^3) + (x^2 + 3x^2) + (-6x -10x) + (-7 + 12)\\\& -3x^3 + 4x^2 -16x + 5$

Revisión del Problema Introductorio

Necesitamos restar el volumen del prisma rectangular A del volumen del prisma rectangular B.

$(x^4 + 2x^3 - 8x^2) - (x^3 + 2x^2 - 3)\\\= x^4 + 2x^3 - 8x^2 - x^3 - 2x^2 + 3 \\\= x^4 + x^3 - 10x^2 + 3$ .

Por lo tanto, la diferencia entre los dos volúmenes es $x^4 + x^3 - 10x^2 + 3$ .

Práctica Guiada

1. Is $\sqrt{2x^3 -5x} + 6$ es un polinomio? ¿Por qué? ¿Por qué no?

2. Encuentra el coeficiente principal y el grado de $6x^2 -3x^5 + 16x^4 + 10x -24$ .

Suma o resta.

3. $(9x^2 + 4x^3 -15x + 22)+(6x^3 -4x^2 + 8x -14)$

4. $(7x^3 + 20x -3)-(x^3 -2x^2 + 14x -18)$

Respuestas

1. No, este no es un polinomio ya que la $x$ está bajo una raíz cuadrada en la ecuación.

2. En la forma estándar, este polinomio es $-3x^5 + 16x^4 + 6x^2 + 10x -24$ . Por lo tanto, el grado es 5 y el coeficiente principal es -3.

3. $(9x^2 + 4x^3 -15x + 22)+(6x^3 -4x^2 + 8x -14) = 10x^3 + 5x^2 -7x + 8$

4. $(7x^3 + 20x -3)-(x^3 -2x^2 + 14x -18) = 6x^3 + 2x^2 + 6x + 15$

Vocabulario

Polinomio: Una expresión con múltiples términos variables, en la que los exponentes son mayores o iguales a cero.

Constante: Un número sin una variable en una expresión matemática.

Grado (de un polinomio): El exponente más alto en un polinomio.

Coeficiente principal: El coeficiente de la variable que tiene el grado.

Forma estándar: Agrupa todas las variables en orden, del mayor al menor.

Términos similares: Cualquier término en donde los exponentes de la variable son iguales.

Práctica

Determina si las siguientes expresiones son polinomios. Si no lo son, justifica tu respuesta. Si lo son, escribe la forma estándar y encuentra el grado y el coeficiente principal

$\frac{1}{x^2} + x + 5$
$x^3 + 8x^4 -15x + 14x^2 -20$
$x^3 + 8$
$5x^{-2} + 9x^{-1} + 16$
$x^2 \sqrt{2} - x\sqrt{6} + 10$
$\frac{x^4 + 8x^2 +12}{3}$
$\frac{x^2-4}{x}$
$-6x^3 + 7x^5 -10x^6 + 19x^2 -3x +41$

Suma o resta los siguientes polinomios.

$(x^3 + 8x^2 -15x + 11) + (3x^3 -5x^2 -4x + 9)$
$(-2x^4 + x^3 + 12x^2 + 6x -18)-(4x^4 -7x^3 + 14x^2 + 18x -25)$
$(10x^3 -x^2 + 6x + 3) + (x^4 -3x^3 + 8x^2 -9x + 16)$
$(7x^3 -2x^2 + 4x -5)-(6x^4 + 10x^3 + x^2 + 4x -1)$
$(15x^2 + x -27) + (3x^3 -12x + 16)$
$(2x^5 -3x^4 + 21x^2 + 11x -32)-(x^4 -3x^3 -9x^2 + 14x -15)$
$(8x^3 -13x^2 + 24)-(x^3 + 4x^2 -2x + 17) + (5x^2 + 18x -19)$

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