Multiplicación de Polinomios

En esta sección multiplicarás muchos tipos diferentes de polinomios.

La longitud de un terreno de jardín rectangular es $x^3 + 5x^2 - 1$ . El ancho del terreno es $x^2 + 3$ . ¿Cuál es el área del terreno de jardín?

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James Sousa: Ex: Polynomial Multiplication Involving Binomials and Trinomials

*Este video solo está disponible en inglés.

Orientación

Multiplicar polinomios es muy parecido a multiplicar factores. Puedes usar el método PIES (método para multiplicar binomios, que consiste en multiplicar, en un orden determinado, los primeros, interiores, exteriores y segundos términos de cada binomio) o también presentaremos un método alternativo. Cuando multipliques polinomios, necesitarás usar las propiedades de los exponentes, principalmente la Propiedad del producto $(a^m \cdot a^n = a^{m+n})$ y combinar los términos similares.

Ejemplo A

Encuentra el producto de $(x^2-5)(x^3 + 2x-9)$ .

Solución: Si usas el método PIES, necesitas ser cuidadoso. Primero, toma la $x^2$ en el primer polinomio y multiplícala por cada término en el segundo polinomio.

Ahora, toma el -5 y multiplícalo por cada término en el segundo polinomio.

Finalmente, combina todos los términos similares. En este ejemplo, solo se pueden combinar los términos $x^3$ .

Ejemplo B

Finalmente, combina todos los términos similares. En este ejemplo, solo se pueden combinar los términos $(x^2+4x-7)(x^3-8x^2+6x-11)$ .

Solución: Finalmente, combina todos los términos similares. En este ejemplo, solo se pueden combinar los términos

Multiplica cada término y anota el resultado en el sitio correspondiente.

Finalmente, combina los términos similares. La respuesta final es $x^5 -4x^4 -33x^3 + 69x^2 -86x + 77$ . Este método representa una forma alternativa para organizar los términos. Usa cualquier método con el que te sientas cómodo. Recuerda que, sin importar cuál método uses, multiplicarás cada uno de los términos del primer polinomio por cada uno de los términos del segundo.

Ejemplo C

Encuentra el producto de $(x-5)(2x + 3)(x^2 + 4)$ .

Solución: En este ejemplo, tenemos tres binomios. Cuando multiplicas tres polinomios, comienza por multiplicar los primeros dos binomios.

$(x-5)(2x+3) &= 2x^2+3x-10x-15\\\&= {\color{red}2x^2-7x-15}$

Ahora, multiplica la respuesta por el último binomio.

$({\color{red}2x^2-7x-15})(x^2+4) &= 2x^4+8x^2-7x^3-28x-15x^2-60\\\&= 2x^4-7x^3-7x^2-28x-60$

Revisión del Problema Introductorio Recuerda que el área de un rectángulo es $A = lw$ , donde l es el largo y w es el ancho. Por lo tanto, necesitamos multiplicar.

$A =(x^3 + 5x^2 - 1)(x^2 + 3)\\\= x^5 + 3x^3 + 5x^4 + 15x^2 - x^2 - 3$ .

Ahora, combina los términos similares y simplifica. Debes asegurarte de escribir tu respuesta en la forma estándar.

$x^5 + 3x^3 + 5x^4 + (15x^2 - x^2) - 3\\\= x^5 + 3x^3 + 5x^4 + 14x^2 - 3\\\= x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 14x^2 - 3$

Por lo tanto, el área del terreno de jardín es de $x^5 + 5x^4 + 3x^3 + 14x^2 - 3$ .

Práctica Guiada

Encuentra el producto de los polinomios.

1. $-2x^2(3x^3-4x^2+12x-9)$

2. $(4x^2-6x+11)(-3x^3+x^2+8x-10)$

3. $(x^2-1)(3x-4)(3x+4)$

4. $(2x-7)^2$

Respuestas

1. Usa la propiedad distributiva para multiplicar $-2x^2$ por el polinomio.

$-2x^2(3x^3-4x^2+12x-9) = -6x^5+8x^4-24x^3+18x^2$

2. Multiplica cada término en el primer polinomio por cada uno en el segundo polinomio.

$(4x^2-6x+11)(-3x^3+x^2+8x-10) &= -12x^5+4x^4+32x^3-40x^2\\\& \qquad \qquad \ +18x^4-6x^3-48x^2+60x\\\& \qquad \qquad \qquad \quad \ -33x^3+11x^2+88x-110\\\&= -12x^5+22x^4-7x^3-77x^2+148x-110$

3. Multiplica los primeros dos polinomios.

$(x^2-1)(3x-4) = 3x^3-4x^2-3x+4$

Multiplica este producto por el último binomio.

$(3x^3-4x^2-3x+4)(3x+4) &= 9x^4+12x^3-12x^3-16x^2-9x^2-12x+12x-16\\\&= 9x^4-25x^2-16$

4. El cuadrado indica que hay dos binomios. Desarróllalos y multiplica.

$(2x-7)^2 &= (2x-7)(2x-7)\\\&= 4x^2-14x-14x+49\\\&= 4x^2-28x+49$

Práctica

Encuentra el producto.

$5x(x^2-6x+8)$
$-x^2(8x^3-11x+20)$
$7x^3(3x^3-x^2+16x+10)$
$(x^2+4)(x-5)$
$(3x^2-4)(2x-7)$
$(9-x^2)(x+2)$
$(x^2+1)(x^2-2x-1)$
$(5x-1)(x^3+8x-12)$
$(x^2-6x-7)(3x^2-7x+15)$
$(x-1)(2x-5)(x+8)$
$(2x^2+5)(x^2-2)(x+4)$
$(5x-12)^2$
$-x^4(2x+11)(3x^2-1)$
$(4x+9)^2$
$(4x^3-x^2-3)(2x^2-x+6)$
$(2x^3-6x^2+x+7)(5x^2+2x-4)$
$(x^3+x^2-4x+15)(x^2-5x-6)$

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