Suma y Diferencia de Cubos

En esta sección aprenderás cómo usar las formulas de suma y diferencia de cubos para factorizar ciertos tipos de polinomios.

El volumen de un prisma rectangular es $2x^4 - 128x$ . ¿Cuál es la longitud de los lados del prisma?

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Khan Academy: Factoring Sum of Cubes

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Orientación

Anteriormente, aprendiste cómo factorizar muchos tipos diferentes de ecuaciones cuadráticas. En esta sección, ampliaremos este conocimiento a ciertos tipos de polinomios. El primero es la suma de cubos. La suma de cubos es lo que su nombre dice; la suma de dos números elevados al cubo o $a^3+b^3$ . Usaremos una investigación relacionada con el volumen para encontrar la factorización de este polinomio.

Investigación: Fórmula para la Suma de Cubos

1. La suma de cubos se vería así si la graficamos:

O, podríamos poner uno encima del otro.

2. Recuerda que la fórmula para el volumen es $length \times width \times depth$ . Encuentra el volumen de la suma de estos dos cubos.

$V = a^3+b^3$

3. Ahora, encontraremos el volumen de otra forma. Si usamos la segunda imagen, añadiremos líneas imaginarias para que estos dos cubos se vean como un prisma grande. Encuentra el volumen de este prisma.

$V &= a \times a \times(a+b)\\\&= a^2(a+b)$

4. Resta la parte imaginaria de la parte superior. En el dibujo, hay un prisma 1 y un prisma 2.

$V = a^2(a+b) - \left[\underbrace{ab(a-b)}_{{\color{red}Prism \ 1}} + \underbrace{b^2(a-b)}_{{\color{red}Prism \ 2}}\right]$

5. Retira todos los factores comunes dentro de los corchetes.

$V = a^2(a+b)-b(a-b)[a+b]$

6. Debes tener presente que ambos términos tienen un factor común, que es $(a + b)$ . Retíralo, ponlo al frente y deshazte de los corchetes.

$V = (a+b)(a^2-b(a-b))$

7. Simplifica lo que está dentro del segundo par de paréntesis.

$V = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

En el último paso, descubrimos que $a^3+b^3$ se factoriza en $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ . Esta es la Fórmula para la Suma de Cubos. .

Ejemplo A

Factoriza $8x^3+27$ .

Solución: Primero, determina si hay números "cubo". Un número cubo tiene una raíz cúbica. Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2 porque $2^3 = 8$ . $3^3 = 27, 4^3 = 64, 5^3 = 125$ y así sucesivamente.

$a^3 &= 8x^3 = (2x)^3 \qquad b^3 = 27 = 3^3\\\a &= 2x \qquad \qquad \qquad \ b = 3$

En la fórmula, tenemos:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) &= (2x+3)((2x)^2-(2x)(3)+3^2)\\\&= (2x+3)(4x^2-6x+9)$

Por lo tanto, $8x^3+27 = (2x+3)(4x^2-6x+9)$ . El segundo polinomio factorizado no se puede seguir factorizando.

Investigación: Diferencia de Cubos

1. La diferencia de los cubos se vería así si la graficamos:

Imagina que a partir del cubo más grande se obtiene el cubo más pequeño.

2. Recuerda que la fórmula para el volumen es $length \times width \times depth$ . Encuentra el volumen de la diferencia de estos dos cubos.

$V = a^3-b^3$

3. Ahora, encontraremos el volumen de otra forma. Usaremos la imagen que está aquí y añadiremos líneas imaginarias para que la figura se divida en tres prismas. Encuentra el volumen del prisma 1, del prisma 2 y del prisma 3.

$& \text{Prism} \ 1: a \cdot a \cdot (a-b)\\\& \text{Prism} \ 2: a \cdot b \cdot (a-b)\\\& \text{Prism} \ 3: b \cdot b \cdot (a-b)$

4. Suma todos los volúmenes para obtener el volumen de la figura completa.

$V = a^2(a-b)+ab(a-b)+b^2(a-b)$

5. Retira todos los factores comunes y simplifica.

$V = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

En el último paso, descubrimos que $a^3-b^3$ se factoriza en $(a-b)(a^2+ab+b^2)$ . Esta es la Fórmula para la Diferencia de Cubos. .

Ejemplo B

Factoriza $x^5-125x^2$ .

Solución: Primero, elimina los factores comunes.

$x^5-125x^2 = x^2(x^3-125)$

Lo que está dentro de los paréntesis es la diferencia de los cubos. Usa la fórmula.

$x^5-125x^2 &= x^2(x^3-125)\\\&= x^2(x^3-5^3)\\\&= x^2(x-5)(x^2+5x+25)$

Ejemplo C

Encuentra las soluciones con números reales de $x^3-8 = 0$ .

Solución: Factoriza usando la diferencia de cubos.

$x^3-8 &= 0\\\(x-2)(x^2+2x+4) &= 0\\\x& = 2$

En el último paso, estableceremos que el primer factor es igual a cero. El Segundo factor, $x^2+2x+4$ , dará como resultado soluciones imaginarias. Esto siempre sucederá en la suma y en la diferencia de cubos.

Revisión del Problema Introductorio Necesitamos factorizar $2x^4 - 128x$ .

Primero, elimina los factores comunes.

$2x^4 - 128x = 2x(x^3 - 64)$

Lo que está dentro del paréntesis es una diferencia de cubos. Usa la Fórmula para la Diferencia de Cubos.

$2x(x^3 - 64)\\\&= 2x(x^3 - 4^3)\\\&= 2x(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$

Por lo tanto, la longitud de los lados del prisma rectangular es $2x$ , $x +4$ , y $x^2 + 4x + 16$ .

Práctica Guiada

Factoriza usando la suma o la diferencia de cubos.

1. $x^3-1$

2. $3x^3+192$

3. $125-216x^3$

4. Encuentra la solución con números reales de $27x^3+8=0$ .

Respuestas

1. Factoriza usando la diferencia de cubos.

$x^3-1 &= x^3-1^3\\\&= (x-1)(x^2+x+1)$

2. Retira los 3 y luego factoriza usando la suma de cubos.

$3x^3+192 &= 3(x^3+64)\\\&= 3(x^3+4^3)\\\&= 3(x+4)(x^2-4x+16)$

3. Factoriza usando la diferencia de cubos.

$125-216x^3 &= 5^3-(6x)^3\\\&= (5-6x)(5^2+(5)(6x)+(6x)^2)\\\&= (5-6x)(25+30x+36x^2)$

4. Factoriza usando la suma de cubos y luego resuelve.

$27x^3+8 &= 0\\\(3x)^3+2^3 &=0\\\(3x+2)(9x^2-6x+4) &= 0\\\x &= -\frac{2}{3}$

Vocabulario

Fórmula para la Suma de Cubos: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

Fórmula para la Diferencia de Cubos.: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

Práctica

Factoriza cada polinomio usando la suma o la diferencia de cubos.

$x^3-27$
$64+x^3$
$32x^3-4$
$64x^3+343$
$512-729x^3$
$125x^4+8x$
$648x^3+81$
$5x^6-135x^3$
$686x^7-1024x^4$

Encuentra las soluciones con números reales para cada ecuación.

$125x^3+1=0$
$64-729x^3 = 0$
$8x^4-343x = 0$
Desafío Encuentra TODAS las soluciones (reales e imaginarias) para $5x^5+625x^2 = 0$ .
Desafío Encuentra TODAS las soluciones (reales e imaginarias) para $686x^3+2000 = 0$ .
Uso Cotidiana Tienes un pedazo de cartón que quisieras doblar para poder hacer una caja abierta (sin tapa) a partir de él. Las dimensiones del cartón son $36^{\prime\prime} \times 42^{\prime\prime}$ . Escribe una ecuación factorizada para el volumen de esta caja. Encuentra el volumen de la caja si $x = 1, 3,$ y 5.

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