Factorización por Agrupación

En esta sección aprenderás cómo factorizar y resolver ciertos polinomios usando la agrupación.

El volumen de un prisma rectangular es $3x^5 - 27x^4 - 2x^2 + 18x$ . ¿Cuál es la longitud de los lados del prisma?

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Orientación

En la sección Factorizar cuando el Coeficiente Principal no es igual a 1 , introdujimos la factorización por agrupación. Ahora, expandiremos esta idea a otros polinomios.

Ejemplo A

Factoriza $x^4+7x^3-8x-56$ usando la agrupación.

Solución: Primero, agrupa los primeros dos términos y luego los últimos dos términos. Retira todos los factores comunes.

$\underbrace{x^4+7x^3}_{x^3{\color{red}(x+7)}}\underbrace{-8x-56}_{-8{\color{red}(x+7)}}$

Debes notar que lo que está dentro de los paréntesis es lo mismo . Este debería pasar cada vez que factorices por agrupación. Retira este factor común.

$& x^3(x+7)-8(x+7)\\\& (x+7)(x^3-8)$

Mira todos los factores. ¿Se pueden seguir factorizando? Sí. El segundo factor es una diferencia de cubos. Usa la fórmula.

$& (x+7)(x^3-8)\\\& (x+7)(x-2)(x^2+2x+4)$

Ejemplo B

Factoriza $x^3+5x^2-x-5$ usando la agrupación.

Solución: Sigue los pasos anteriores.

$& x^3+5x^2-x-5\\\& x^2(x+5)-1(x+5)\\\& (x+5)(x^2-1)$

Analiza para ver si podemos seguir factorizando algún factor. Sí, el segundo factor es una diferencia de cubos.

$& (x+5)(x^2-1)\\\&(x+5)(x-1)(x+1)$

Ejemplo C

Encuentra todas las soluciones con números reales de $2x^3-3x^2+8x-12 = 0$ .

Solución: Follow the steps from Ejemplo A.

$2x^3-3x^2+8x-12 &= 0\\\x^2(2x-3)+4(2x-3) &= 0\\\(2x-3)(x^2+4) &= 0$

Ahora, determina si puedes seguir factorizando. No, $x^2+4$ es una suma de cuadrados y no son factorizables. Al establecer el primer factor igual a cero, obtenemos $x = \frac{3}{2}$ .

Revisión del Problema Introductorio

Necesitamos factorizar $3x^5 - 27x^4 - 2x^2 + 18x$ para encontrar la longitud de los lados del prisma.

Primero, retiramos todos los factores comunes. $x(3x^4 - 27x^3 - 2x + 18)$

Luego, factoriza $(3x^4 - 27x^3 - 2x + 18)$ agrupando los primeros dos términos y luego los últimos dos términos.

$(3x^4 - 27x^3 - 2x + 18)\\\= (3x^4 - 27x^3) + (- 2x + 18)\\\= 3x^3(x - 9) - 2(x - 9)$

Ahora retira todos los factores comunes.

$3x^3(x - 9) - 2(x - 9)\\\= (3x^3 - 2)(x - 9)$

La expresión no se puede seguir factorizando, por lo tanto queda como $3x^5 - 27x^4 - 2x^2 + 18x = x(3x^3 - 2)(x - 9)$ y la longitud de cada lado del prisma rectangular es $x$ , $3x^3 - 2$ , y $x - 9$ respectivamente.

Práctica Guiada

Factoriza los siguientes polinomios usando la agrupación.

1. $x^3+7x^2-2x-14$

2. $2x^4-5x^3+2x-5$

3. Factoriza los siguientes polinomios usando la agrupación. $4x^3-8x^2-x+2 = 0$ .

Respuestas

Cada uno de estos problemas se resuelve de la misma forma: Agrupa los primeros dos términos y luego los últimos dos términos, retira todos los factores comunes, revisa que lo que está dentro de los paréntesis sea lo mismo, factor ízalo y luego determina si algún factor se puede seguir factorizando.

1. $& x^3+7x^2-2x-14\\\& x^2(x+7)-2(x+7)\\\& (x+7)(x^2-2)$

$x^2-2$ no es una diferencia de cuadrados porque 2 no es un número cuadrado. Por lo tanto, esta no se puede seguir factorizando.

2. $& 2x^4-5x^3+2x-5\\\& x^3(2x-5)+1(2x-5)\\\& (2x-5)(x^3+1) \quad \ \ \text{Sum of cubes, factor further}.\\\& (2x-5)(x+1)(x^2+x+1)$

3. Factoriza por Agrupación

$4x^3-8x^2-x+2 &= 0\\\4x^2(x-2)-1(x-2) &= 0\\\(x-2)(4x^2-1) &= 0\\\(x-2)(2x-1)(2x+1) &= 0\\\x & = 2, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}$

Práctica

Factoriza los siguientes polinomios usando la factorización por agrupación. Factoriza completamente cada polinomio.

$x^3-4x^2+3x-12$
$x^3+6x^2-9x-54$
$3x^3-4x^2+15x-20$
$2x^4-3x^3-16x+24$
$4x^3+4x^2-25x-25$
$4x^3+18x^2-10x-45$
$24x^4-40x^3+81x-135$
$15x^3+6x^2-10x-4$
$4x^3+5x^2-100x-125$
$3x^3-2x^2+12x-8$

Encuentra todas las soluciones con números reales de los siguientes polinomios.

$9x^3-54x^2-4x+24 = 0$
$x^4+3x^3-27x-81 = 0$
$x^3-2x^2-4x+8 = 0$
Desafío Encuentra TODAS las soluciones de $x^6-9x^4-x^2+9 = 0$ .
Desafío Encuentra TODAS las soluciones de $x^3+3x^2+16x+48 = 0$ .

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