Factorización de Polinomios en Forma Cuadrática

En esta sección aprenderás cómo factorizar y resolver polinomios que estén en una "forma cuadrática".

El volumen de un prisma rectangular es $10x^3 - 25x^2 - 15x$ . ¿Cuál es la longitud de los lados del prisma?

Orientación

Los últimos tipos de polinomios factorizables son aquellos que están en forma cuadrática. La forma cuadrática es cuando un polinomio luce como un trinomio o binomio y puede ser factorizado como un cuadrado. Un ejemplo es cuando un polinomio está en la forma de $ax^4+bx^2+c$ . Otra posibilidad es algo parecido a la diferencia de cuadrados, $a^4-b^4$ . Esto se puede factorizar a $(a^2-b^2)(a^2+b^2)$ or $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$ . Siempre ten en cuenta que los factores comunes más grandes se deben factorizar primero.

Ejemplo A

Factoriza $2x^4-x^2-15$ .

Solución: Este polinomio particular es factorizable. Usemos el método que aprendimos en la sección Factorización cuando $a \neq 1$ Primero, $ac = -30$ . Los factores de -30 cuya suma es -1 son -6 y -5. Desarrolla el término del medio y luego usa la factorización por agrupación.

$& 2x^4-x^2-15\\\& 2x^4-6x^2+5x^2-15\\\& 2x^2(x^2-3)+5(x^2-3)\\\& (x^2-3)(2x^2+5)$

Ninguno de los factores es factorizable, por lo que hemos terminado.

Ejemplo B

Factoriza $81x^4-16$ .

Solución: Trata esta ecuación polinómica como una diferencia de cuadrados.

$& 81x^4-16\\\& (9x^2-4)(9x^2+4)$

Ahora, podemos factorizar $9x^2-4$ usando por segunda vez la diferencia de cuadrados.

$(3x-2)(3x+2)(9x^2+4)$

$9x^2+4$ no se puede factorizar porque es una suma de cuadrados. Esta ecuación tendrá soluciones imaginarias.

Ejemplo C

Encuentra todas las soluciones con números reales de $6x^5-51x^3-27x = 0$ .

Solución: Primero, retira el MCD (Máximo Común Divisor) entre los tres términos.

$6x^5-51x^3-27x &= 0\\\3x(2x^4-17x^2-9) &= 0$

Factoriza lo que está dentro del paréntesis como si fuera una ecuación cuadrática. $ac = -18$ y los factores de -18 cuya suma es -17 son -18 y 1. Desarrolla el término del medio y luego usa la factorización por agrupación.

$6x^5-51x^3-27x &= 0\\\3x(2x^4-17x^2-9) &= 0\\3x(2x^4-18x^2+x^2-9) &= 0\\3x[2x^2(x^2-9)+1(x^2-9)] &= 0\\3x(x^2-9)(2x^2+1) &= 0$

Sigue factorizando $x^2-9$ y encuentra $x$ donde sea posible. $2x^2+1$ no es factorizable.

$3x(x^2-9)(2x^2+1) &= 0\\\3x(x-3)(x+3)(2x^2+1) &= 0\\\x &= -3, 0, 3$

Revisión del Problema Introductorio Para encontrar la longitud de los lados del prisma, necesitamos factorizar $10x^3 - 25x^2 - 15x$ .

Primero, retira el MCD (Máximo Común Divisor) entre los tres términos.

$10x^3 - 25x^2 - 15x\\\5x(2x^2 - 5x - 3)$

Factoriza lo que está dentro del paréntesis como si fuera una ecuación cuadrática. $ac = -6$ y los factores de -6 cuya suma es -5 son -6 y 1.

$5x(2x^2 - 5x - 3)= 5x(2x + 1)(x - 3)$

Por lo tanto, la longitud de cada uno de los lados del prisma rectangular es $5x$ , $2x + 1$ , y $x - 3$ respectivamente.

Práctica Guiada

Factoriza los siguientes polinomios.

1. $3x^4+14x^2+8$

2. $36x^4-25$

3. Encuentra todas las soluciones con números reales de $8x^5+26x^3-24x = 0$ .

Respuestas

1. $ac = 24$ y los factores de 24 cuya suma es 14 son 12 y 2.

$& 3x^4+14x^2+8\\\& 3x^4+12x^2+2x^2+8\\\& 3x^2(x^2+4)+2(x^4+4)\\\& (x^2+4)(3x^2+2)$

2. Factoriza este polinomio como una diferencia de cuadrados.

$& 36x^4-25\\\& (6x^2-5)(6x^2+5)$

6 y 5 no son números cuadrados, por lo que esta no se puede seguir factorizando.

3. Retira un $2x$ de cada término.

$8x^5+26x^3-24x &= 0\\\2x(4x^4+13x-12) &= 0\\\2x(4x^4+16x^2-3x^2-12) &= 0\\\2x[4x^2(x^2+4)-3(x^2+4)] &= 0\\\2x(x^2+4)(4x^2-3) &= 0$

Establece cada factor como igual a cero.

$& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ 4x^2-3 = 0\\\& 2x = 0 \quad x^2+4 = 0\\\& \qquad \quad \ \ \ \ \quad \qquad \qquad \ \ and \qquad \quad x^2 = \frac{3}{4}\\\& \ x = 0 \qquad \quad x^2 = -4\\\& \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \ x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Debes tener presente que el segundo factor dará soluciones imaginarias.

Vocabulario

Forma cuadrática: Cuando un polinomio luce como un trinomio o binomio y puede ser factorizado como un cuadrado.

Práctica

Factoriza completamente los siguientes cuadráticos.

$x^4-6x^2+8$
$x^4-4x^2-45$
$x^4-18x^2+45$
$4x^4-11x^2-3$
$6x^4+19x^2+8$
$x^4-81$
$16x^4-1$
$6x^5+26x^3-20x$
$4x^6-36x^2$
$625-81x^4$

Encuentra todas las soluciones con números reales de los siguientes polinomios.

$2x^4-5x^2-12 = 0$
$x^4-16=0$
$16x^4-49 = 0$
$12x^6+69x^4+45x^2 = 0$
$3x^4+17x^2 -6=0$

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