Divisiones Largas de Polinomios

En esta sección aprenderás cómo usar divisiones largas para dividir polinomios.

El área de un rectángulo es $6x^3 - 12x^2 + 4x - 8$ . El ancho de un rectángulo es $2x - 4$ . ¿Cuál es su longitud?

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Orientación

A pesar de que no lo parece, la factorización es una forma de división. Cada factor cabe justo en el polinomio más grande sin dejar residuos. Por ejemplo, toma el polinomio $2x^3-3x^2-8x+12$ . Si usamos la factorización por agrupación, descubrimos que los factores son $(2x - 3)(x - 2)(x + 2)$ . Si multiplicamos estos tres factores, obtendremos el polinomio original. Por lo tanto, si dividimos por $2x - 3$ , deberíamos obtener $x^2 - 4$ .

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & & & & & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}2x-3~ & \Huge)~ & 2x^3 &\,-3 x^2 &\,-8x &\, +12 \\\\end{array}$

¿Cuántas veces cabe $2x$ en $2x^3$ ? $x^2$ veces.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrr} & &\, {\color{blue}x^2} & & \\\ \cline{2-5} \rule{0pt}{2.3ex}{\color{red}2x}-3~ & \Huge)~ & {\color{red}2x^3} &\,-3 x^2 &\,-8x + 12 \\\ & & 2x^3 &\,-3 x^2 & \\\ \cline{3-5} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, 0~~ & \end{array}$

Ubica $x^2$ sobre el término $x^2$ en el polinomio.

Multiplica $x^2$ por ambos términos en el divisor ( $2x$ and -3) y ubícalos hasta sus términos similares. Resta del dividendo $(2x^3-3x^2-8x+12)$ . Retira los próximos dos términos y repite el proceso.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & &\, x^2 & & -4 & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}{\color{red}2x}-3~ & \Huge)~ & 2x^3 &\,-3 x^2 &\, -8x &\, +12 \\\ & & 2x^3 &\,-3 x^2 & \\\ \cline{3-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\,{\color{red}-8x} &\, +12 \\\ & & & &\, -8x &\, +12 \\\ \cline{5-6}\end{array}$

$2x$ cabe $-8x$ veces.

Después de multiplicar los dos términos en el divisor por -4, ubícalo bajo los términos que bajaste. Cuando restamos, notaremos que todo se cancelará. Por lo tanto, tal como lo pensamos, $x^2 - 4$ es un factor.

Cuando dividimos polinomios, no todos los divisores cabrán justos en el dividendo. Sí hay algún residuo, escríbelo como una fracción sobre el divisor.

Ejemplo A

$(2x^3-6x^2+5x-20) \div (x^2-5)$

Solución: Comienza el problema usando una barra para una división larga.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & & & & & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}x^2-5~ & \Huge)~ & 2x^3 &\, -6x^2 &\, +5x &\, -20 \\\\end{array}$

¿Cuántas veces cabe $x^2$ en $2x^3$ ? $2x$ veces.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & &\, {\color{red}2x} & & & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}{\color{red}x^2}-5~ & \Huge)~ & {\color{red}2x^3} &\, -6x^2 &\, +5x &\, -20 \\\ & & 2x^3 &\,-10x^2 & & \\\ \cline{3-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, 4x^2 &\, +5x &\, -20\end{array}$

Multiplica $2x$ por el divisor. Réstalo del dividendo .

Repite los pasos anteriores. Ahora, ¿Cuántas veces cabe $x^2$ en $4x^2$ ? 4 veces.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & & 2x &\, {\color{red}+4} & & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}{\color{red}x^2}-5~ & \Huge)~ & 2x^3 &\, -6x^2 &\, +5x &\, -20 \\\ & & 2x^3 &\,-10x^2 & & \\\ \cline{3-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, {\color{red}4x^2} &\, +5x &\, -20 \\\ & & &\, 4x^2 &\, &\, -20 \\\ \cline{4-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\, 5x &\, \\\\end{array}$

En este punto, ya hemos terminado. $x^2$ no cabe en $5x$ porque tiene un grado mayor. Por lo tanto, $5x$ es un residuo. La respuesta completa sería $2x+4+\frac{5x}{x^2-5}$ .

Ejemplo B

$(3x^4+x^3-17x^2+19x-6) \div (x^2-2x+1)$ . Determina si $x^2-2x+1$ cabe justo en $3x^4+x^3-17x^2+19x-6$ . Si es así, intenta seguir factorizando el divisor y el cociente.

Solución: Primero, realiza la división larga. Si $x^2-2x+1$ cabe justo, entonces el residuo será cero.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrrr} & & 3x^2 &\, +7x &\, -6 & & \\\ \cline{2-7} \rule{0pt}{2.3ex}x^2-2x+1~ & \Huge)~ & 3x^4 &\, +x^3 &\,-17x^2 &\, +19x &\, -6 \\\ & & 3x^4 &\, -6x^3 &\, 3x^2 & & \\\ \cline{3-7} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, 7x^3 &\,-20x^2 &\, +19x &\, \\\ & & &\, 7x^3 &\,-14x^2 &\, +7x &\, \\\ \cline{4-7} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, &\, -6x^2 &\, +12x &\, -6 \\\ & & &\, &\, -6x^2 &\, +12x &\, -6 \\\ \cline{5-7} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, & & &\, 0 \\\\end{array}$

cabe justo, entonces el residuo será cero. $x^2-2x+1$ y $3x^2+7x-6$ caben justo en $3x^4+x^3-17x^2+19x-6$ . Veamos si podemos seguir factorizando $x^2-2x+1$ o $3x^2+7x-6$ .

$x^2-2x+1=(x-1)(x-1)$ y $3x^2+7x-6=(3x-2)(x+3)$ .

Por lo tanto, $3x^4+x^3-17x^2+19x-6=(x-1)(x-1)(x+3)(3x-2)$ . Puedes multiplicarlos para revisar el ejercicio. Un binomio con grado uno es un factor de un polinomio más grande, $f(x)$ , si cabe justo en este. En este ejemplo, $(x-1)(x-1)(x+3)$ y $(3x-2)$ son factores de $3x^4+x^3-17x^2+19x-6$ . También podemos decir que 1,1, -3 y $\frac{2}{3}$ son soluciones de $3x^4+x^3-17x^2+19x-6$ .

Teorema de Factorización: Un polinomio, $f(x)$ , tiene un factor, $(x - k)$ ,si y solo sí $f(k) = 0$ .

En otras palabras, si $k$ es una solución o un cero , entonces el factor , $(x - k)$ se divide justo en $f(x)$ .

Ejemplo C

Determina si 5 es una solución de $x^3+6x^2-8x+15$ .

Solución: Para ver si 5 es una solución, necesitamos dividir el factor en $x^3+6x^2-8x+15$ . El factor equivalente a 5 es $(x - 5)$ .

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & &\, x^2 &\, +11x &\, +5 & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}x-5~ & \Huge)~ &\, x^3 &\, +6x^2 &\, -50x &\, +15 \\\ & &\, x^3 &\, -5x^2 & & \\\ \cline{3-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, 11x^2 &\, -50x &\, \\\ & & &\, 11x^2 &\, -55x &\, \\\ \cline{4-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\, 5x &\, +15 \\\ & & & &\, 5x &\, -25 \\\ \cline{5-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\, &\, 40 \\\\end{array}$

Ya que no hay residuo, 5 no es una solución.

Revisión del Problema Introductorio

Primero, realiza la división larga.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & &\, 3x^2 & & +2 & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}2x-4~ & \Huge)~ &\, 6x^3 &\,-12x^2 &\, +4x &\, -8 \\\ & &\, 6x^3 &\,-12x^2 & & \\\ \cline{3-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\, 4x &\, -8 \\\ & & & &\, 4x &\, -8 \\\ \cline{5-6} & & & &\, &\, 0 \\\ \end{array}$

Esto significa que $2x - 4$ and $3x^2+2$ caben justo en $6x^3-12x^2+4x-8$ .

$3x^2+2$ no se puede seguir factorizando, por lo tanto esta es la longitud del rectángulo.

Práctica Guiada

1. $(5x^4+6x^3-12x^2-3) \div (x^2+3)$

2. Is $(x+4)$ es un factor de $x^3-2x^2-51x-108$ ? Si lo es, encuentra todos los otros factores.

3. ¿Cuáles son las soluciones con números reales del ejercicio 2?

4. Determina si 6 es una solución de $2x^3-9x^2-12x-24$ .

Respuestas

1. Asegúrate de poner un sustituto para el término $x-$

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrrr} & &\, 5x^2 &\, +6x &\, -27 & & \\\ \cline{2-7} \rule{0pt}{2.3ex}x^2+3~ & \Huge)~ &\, 5x^4 &\, +6x^3 &\, -12x^2 &\,{\color{red}+0x} &\, -3 \\\ & &\, 5x^4 &\, &\, +15x^2 & & \\\ \cline{3-7} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, 6x^3 &\, -27x^2 &\,{\color{red}+0x} & \\\ & & &\, 6x^3 &\, &\, +18x & \\\ \cline{4-7} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\, -27x^2 &\, -18x &\, -3 \\\ & & & &\, -27x^2 &\, &\, -81 \\\ \cline{5-7} \rule{0pt}{2.5ex} & & & & &\, -18x &\, +78 \\\\end{array}$

La respuesta final es $5x^2+6x-27-\frac{18x-78}{x^2+3}$ .

2. Divide $(x + 4)$ en $x^3-2x^2-51x-108$ y si el residuo es cero, es un factor.

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & &\, x^2 &\, -6x &\, -27 & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}x+4~ & \Huge)~ &\, x^3 &\, -2x^2 &\, -51x &\, -108 \\\ & &\, x^3 &\, +4x^2 & & \\\ \cline{3-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, -6x^2 &\, -51x & \\\ & & &\, -6x^2 &\, -24x & \\\ \cline{4-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\, -27x &\, -108 \\\ & & & &\, -27x &\, -108 \\\ \cline{5-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & & & 0 \\\\end{array}$

$x + 4$ es un factor. Veamos si $x^2 - 6x -27$ se puede seguir factorizando. Sí, los factores de -27 cuya suma es -6 son -9 y 3. Por lo tanto, los factores de $x^3-2x^2-51x-108$ son $(x + 4), (x - 9)$ , son $(x + 3)$ .

3. Las soluciones serían -4, 9 y 3; el signo opuesto para cada factor.

4. Para ver si 6 es una solución, necesitamos dividir $(x - 6)$ en $2x^3-9x^2-12x-24$ .

$\renewcommand{\arraycolsep}{0pt}\begin{array}{clrrrr} & &\, 2x^2 &\, +3x &\, +6 & \\\ \cline{2-6} \rule{0pt}{2.3ex}x-6~ & \Huge)~ &\, 2x^3 &\, -9x^2 &\, -12x &\, -24 \\\ & &\, 2x^3 &\, -12x^2 & & \\\ \cline{3-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & &\, 3x^2 &\, -12x & \\\ & & &\, 3x^2 &\, -18x & \\\ \cline{4-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & &\, 6x &\, -24 \\\ & & & &\, 6x &\, -36 \\\ \cline{5-6} \rule{0pt}{2.5ex} & & & & & 12 \\\\end{array}$

Ya que el residuo no es cero, 6 no es una solución.

Vocabulario

Divisiones largas (de polinomios): El proceso de dividir polinomios cuando el divisor tiene dos o más términos.

Divisor: El polinomio que se divide en otro polinomio.

Dividendo: El polinomio en el que va el divisor. El polinomio bajo la barra de división.

Cociente: La respuesta a un problema de división.

Práctica

Divide los siguientes polinomios usando una división larga.

$(2x^3+5x^2-7x-6) \div (x+1)$
$(x^4-10x^3+15x-30) \div (x-5)$
$(2x^4-8x^3+4x^2-11x-1) \div (x^2-1)$
$(3x^3-4x^2+5x-2) \div (3x+2)$
$(3x^4-5x^3-21x^2-30x+8) \div (x-4)$
$(2x^5-5x^3+6x^2-15x+20) \div (2x^2+3)$

Determina todas las soluciones con números reales en los siguientes polinomios. Se ha entregado un factor.

$x^3-9x^2+27x-15; (x+5)$
$x^3+4x^2-9x-36; (x+4)$
$2x^3+7x^2-7x-30; (x-2)$

Determina todas las soluciones con números reales en los siguientes polinomios. Se ha entregado un cero.

$6x^3-37x^2+5x+6; 6$
$6x^3-41x^2+58x-15; 5$
$x^3+x^2-16x-16; 4$

Encuentra la ecuación de un polinomio con los ceros que se te han entregado.

4, -2, y $\frac{3}{2}$
1, 0, y 3
-5, -1, y $\frac{3}{4}$
Desafío Encuentra dos polinomios con los ceros 8, 5, 1 y -1.

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