Divisiones Sintéticas de Polinomios

En esta sección aprenderás cómo usar divisiones sintéticas como una forma rápida y una alternativa a las divisiones largas (en ciertos casos) y para encontrar ceros.

El volumen de un prisma rectangular es $2x^3 + 5x^2 - x - 6$ . Determina si $2x + 3$ es la longitud de uno de los lados del prisma.

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James Sousa: Polynomial Division: Synthetic Division

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

La división sintética es una alternativa a la división larga de la sección anterior. También se puede usar para dividir un polinomio por un factor posible, $x - k$ . Sin embargo, la división sintética no puede ser usada para dividir polinomios más grandes, como los cuadráticos, en otro polinomio.

Ejemplo A

Divide $2x^4-5x^3-14x^2-37x-30$ by $x - 2$ .

Solución: Usando la división sintética, la preparación del ejercicio queda así:

Para "leer" la respuesta, usa los números como se muestra ahora:

Por lo tanto, 2 es una solución, ya que el residuo es cero. El polinomio factorizado es $2x^3-x^2-16x+15$ . Debes tener presente que cuando dividimos sintéticamente por $k$ ,el polinomio "sobrante" tiene un grado menos que el original. También podríamos escribir $(x-2)(2x^3-x^2-16x+15)=2x^4-5x^3-14x^2+47x-30$ .

Ejemplo B

Determina si 4 es una solución de $f(x)=5x^3+6x^2-24x-16$ .

Si usamos la división sintética, tenemos:

El residuo es 304, por lo que 4 no es una solución. Debes tener presente que si sustituimos en $x = 4$ , también expresado como $f(4)$ , tendríamos $f(4)=5(4)^3+6(4)^2-24(4)-16=304$ . Esto nos lleva al Teorema del Residuo.

Teorema del Residuo: Si $f(k) = r$ , entonces $r$ también es el residuo cuando se divide por $(x - k)$ .

Esto significa que si sustituyes en $x = k$ o divides por $k$ , el resultado de $f(x)$ es el mismo. $r$ ies el residuo, pero también es el valor correspondiente de $y-$ Por lo tanto, el punto $(k, r)$ estaría en el gráfico de $f(x)$ .

Ejemplo C

Determina si $(2x - 5)$ es un factor de $4x^4-9x^2-100$ .

Solución: Si usas la división sintética, el factor no estará en la forma $(x - k)$ . Necesitamos calcular el factor posible para cero para ver qué solución posible resultaría.Por lo tanto, necesitamos poner $\frac{5}{2}$ en una casilla en la esquina superior izquierda. Además, no se representan todos los términos en este polinomio. Cuando sucede esto, debes poner ceros como sustitutos. En este ejemplo, necesitamos ceros para el término $x^3-$ y para el término $x-$

Esto significa que $\frac{5}{2}$ es un cero y su binomio correspondiente $(2x - 5)$ , es un factor.

Revisión del Problema Introductorio

Si $2x + 3$ se divide justo en $2x^3 + 5x^2 - x - 6$ este sería la longitud de uno de los lados del prisma.

Si usas la división sintética, el factor no estará en la forma $(x - k)$ . Necesitamos calcular el factor posible para cero para ver qué solución posible resultaría. Por lo tanto, necesitamos poner $\frac{-3}{2}$ en una casilla en la esquina superior izquierda.

Cuando realizamos la división sintética, obtenemos un resultado igual a 0. Esto significa que $(2x + 3)$ es un factor del volumen. Por lo tanto, también es la longitud de uno de los lados del prisma rectangular.

Práctica Guiada

1. Divide $x^3-9x^2+12x-27$ por $(x + 3)$ . Escribe el polinomio resultante con su residuo (si es que hay uno).

2. Divide $2x^4-11x^3+12x^2+9x-2$ por $(2x + 1)$ . Escribe el polinomio resultante con su residuo (si es que hay uno).

3. ¿6 es una solución de $f(x)=x^3-8x^2+72$ ? Si es así, encuentra los ceros con números reales (soluciones) del polinomio resultante.

Respuestas

1. Usando la división sintética, divide por -3.

La respuesta final es $x^2+6x-6-\frac{9}{x+3}$ .

2. Usando la división sintética, divide por $-\frac{1}{2}$ .

La respuesta final es $2x^3-12x^2+18x-\frac{2}{2x+1}$ .

3. Pon un cero como sustituto para el término $x-$ Divide por 6.

El polinomio resultante es $x^2-2x-12$ . Aunque esta ecuación cuadrática no se factorice, podemos usar la Fórmula para Ecuaciones Cuadráticas para encontrar las otras raíces.

$x=\frac{2 \pm \sqrt{2^2-4(1)(-12)}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{4+48}}{2}=\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2}=1 \pm \sqrt{13}$

Las soluciones a este polinomio son 6, $1+\sqrt{13} \approx 4.61$ y $1-\sqrt{13} \approx -2.61$ .

Vocabulario

División Sintética: Una alternativa a las divisiones largas para dividir $f(x)$ por $k$ cuando solo se usan los coeficientes de $f(x)$

Teorema del Residuo: Si $f(k) = r$ , entonces $r$ también es el residuo cuando se divide por $(x - k)$ .

Práctica

Usa la división sintética para dividir los siguientes polinomios. Escribe el polinomio restante.

$(x^3+6x^2+7x+10) \div (x+2)$
$(4x^3-15x^2-120x-128) \div (x-8)$
$(4x^2-5) \div (2x+1)$
$(2x^4-15x^3-30x^2-20x+42) \div (x+9)$
$(x^3-3x^2-11x+5) \div (x-5)$
$(3x^5+4x^3-x-2) \div (x-1)$
¿Cuál de los problemas de división anteriores no genera residuos?¿Qué significa eso?
¿Cuál es la diferencia entre un cero y un factor?
Encuentra $f(-2)$ si $f(x)=2x^4-5x^3-10x^2+21x-4$ .
Ahora, divide $2x^4-5x^3-10x^2+21x-4$ por $(x + 2)$ usando la división sintética. ¿De qué te diste cuenta?

Encuentra todos los ceros reales de los siguientes polinomios. Se ha entregado un cero.

$12x^3+76x^2+107x-20; -4$
$x^3-5x^2-2x+10; -2$
$6x^3-17x^2+11x-2; 2$

Encuentra todos los ceros reales de los siguientes polinomios. Se han entregado dos ceros.

$x^4+7x^3+6x^2-32x-32; -4, -1$
$6x^4+19x^3+11x^2-6x; 0, -2$

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