Encontrar Ceros Racionales y Reales

En esta sección aprenderás cómo encontrar todos los ceros racionales y con números reales de un polinomio de grado superior.

La longitud de una parte de un terreno para cultivos es $2x^2 + 10$ y el ancho es $x + 1$ . El área del terreno para cultivos es 353 yardas cuadradas. ¿Cuáles son las soluciones racionales posibles para la ecuación polinómica representada por esta situación?

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James Sousa: Ex 2: Find the Zeros of a Polynomial Function - Real Rational Zeros

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

Recuerda lo que aprendiste sobre Funciones Cuadráticas: cada ecuación de segundo grado tiene dos soluciones. El grado de una ecuación cuadrática es 2, lo que nos lleva a la noción de que tiene 2 soluciones. El grado siempre nos dirá el número máximo de soluciones que tiene un polinomio. Las ecuaciones cuadráticas también tienen unas pocas posibilidades de soluciones diferentes; dos soluciones con números reales (la parábola pasa por el eje $x-$ dos veces), una solución con números reales (donde la solución es el vértice, conocido como raíz repetida) o dos soluciones imaginarias (donde el gráfico no toca en ningún momento el eje $x-$ ).

Cuando se trata de soluciones para polinomios, todas estas opciones son posibles. Puede haber soluciones racionales, irracionales e imaginarias. . Las soluciones irracionales e imaginarias siempre aparecerán en pares.. Esto es debido al hecho de que para encontrar estos tipos de soluciones, debes usar la Fórmula para Cuadráticos y el signo $\pm$ dará como resultado dos soluciones. En esta sección solo abordaremos soluciones con números reales.

Ahora, quizás te estés preguntando ¿Cómo encontramos todas estas soluciones? Una forma es usar el Teorema de la Raíz Racional.

Teorema de la Raíz Racional: Para un polinomio , $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x+a_0$ , en donde $a_n, a_{n - 1}, \cdots a_0$ son enteros, las raíces racionales se pueden determinar a partir de los factores de $a_n$ y $a_0$ . Más concretamente, si $p$ es un factor de $a_0$ y $q$ es un factor de $a_n$ , entonces todos los factores racionales tendrán la forma de $\pm \frac{p}{q}$ .

En otras palabras, los factores de la constante divididos por los factores del coeficiente principal producirán todas la soluciones racionales posibles para $f(x)$ .

Ejemplo A

Encuentra todas las soluciones racionales posibles para $f(x)=6x^4-43x^3+66x^2-3x-10$ .

Solución: Todos los factores posibles de 10 son 1, 2, 5 y 10. Todos los factores posibles de 6 son 1, 2, 3 y 6. Las combinaciones posibles son $\frac{\pm 1. \pm 2, \pm 5, \pm 10}{\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6}=\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 10, \pm \frac{10}{3}$ . Por lo tanto, hay 24 posibilidades.

Ejemplo B

Encuentra las soluciones racionales para $f(x)=6x^4-43x^3+66x^2-3x-10$ .

Solución: Antes de que existieran las calculadoras graficadoras, habrías tenido que probar las 24 soluciones posibles para encontrar la solución correcta. Ahora, podemos graficar la función y eliminar cualquier posibilidad que parezca irracional. Debido a que el grado de la función es 4, habrá 4 soluciones. Este es el gráfico:

Volvamos al Ejemplo A, las soluciones razonables parecen ser: $5, 2, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{2}{3}$ , o $\pm \frac{5}{6}$ . Con solo mirar el gráfico, las soluciones entre -1 y 1 son difíciles de ver. Es por esto que hemos enlistado todas las soluciones entre -1 y 1 para probarlas. Probemos 5 y 2 usando la división sintética.

El residuo es cero, tal como pensábamos.

Ahora, en vez de comenzar desde el principio con la división por 2, continúa con el polinomio sobrante.

De nuevo, el residuo es cero. Ambos, 5 y 2, son ceros.

Para encontrar los últimos dos ceros, podemos probar todas las fracciones anteriores usando la división sintética. O, podemos factorizar este polinomio sobrante. Ya que comenzamos con un polinomio de grado 4, este polinomio sobrante es un cuadrático. Es $6x^2-x-1. \ ac = -6$ y los factores de -1 cuya suma es -6 son -3 y 2. Desarrolla el término $x-$ y luego usa la factorización por agrupación.

$& \underbrace{6x^2-3x}+\underbrace{2x-1}\\\& 3x(2x-1)+1(2x-1)\\\& (2x-1)(3x+1)$

Luego de establecer estos dos factores como iguales a cero, tenemos $x=\frac{1}{2}$ y $-\frac{1}{3}$ . Por lo tanto, las soluciones a este polinomio son 5, 2, $\frac{1}{2}$ and $-\frac{1}{3}$ .

Revisa tu respuesta: Para revisar tu trabajo, puedes multiplicar los factores para ver si obtienes el polinomio original.

$& \underbrace{(2x-1)(3x+1)} \underbrace{(x-5)(x-2)}\\\& (6x^2-x-1)(x^2-7x+10)\\\& 6x^4-43x^3+66x^2-3x-10$

Ejemplo C

Encuentras todas las soluciones reales para $f(x)=x^4+6x^3-2x^2-48x-32$ .

Solución: Primero, dibuja un gráfico.

Ahora, usa el Teorema de la Raíz Racional para determinar todas las raíces racionales posibles.

$\frac{\text{factors of -32}}{\text{factors of 1}}=\frac{\pm 32, \pm 16, \pm 8, \pm 4, \pm 2, \pm 1}{\pm 1}$

Cuando usas el gráfico, parece que -4 es la única solución racional posible. Además, ten en cuenta que el gráfico toca el eje $x-$ en -4 y no pasa a través de este. Eso significa que esta solución es una raíz repetida. Hagamos una división sintética.

Ya que la raíz es repetida, hicimos la división dos veces. Al final de la división sintética, el polinomio sobrante es $x^2-2x-2$ el cual no es factorizable. Por lo tanto, para encontrar las últimas dos soluciones, debemos usar la Fórmula para Ecuaciones Cuadráticas.

$x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-2)}}{2(1)}\\\&= \frac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt{12}}{2}=\frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2}=1 \pm \sqrt{3} \approx 2.73, -0.73$

Las raíces, o ceros, de $f(x)=x^4+6x^3-2x^2-48x-32$ son -4 (dos veces), 2,73 y -0,73. Si volvemos al gráfico, veremos que es aquí donde la función cruza el eje de $x-$ El gráfico siempre es una buena forma para darle una segunda revisión a tu trabajo.

Revisión del Problema Introductorio Primero, necesitamos establecer las ecuaciones.

$(x + 1)(2x^2 + 10) = 353\\\= 2x^3 + 10x + 2x^2 + 10 = 353\\\= 2x^3 + 2x^2 + 10x - 343 = 0$

Todos los factores posibles de 343 son 1, 7, 49 y 343. Todos los factores posibles de 3 son 1 y 2. Las combinaciones posibles son $\frac{\pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343}{\pm 1, \pm 2}=\pm 1, \pm 7, \pm 49, \pm 343, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{49}{2}, \pm \frac{343}{2}$ . Por lo tanto, hay 16 posibilidades.

Práctica Guiada

Encuentra todas las soluciones reales de las siguientes funciones.

1. $f(x)=x^3-2x^2-15x+30$

2. $f(x)=6x^3+19x^2+11x-6$

3. $f(x)=x^5-4x^4-18x^3+38x^2-11x-6$

Respuestas

1. Si usas el Teorema de la Raíz Racional, las raíces racionales posibles son: $\pm 30, \pm 15, \pm 10, \pm 6, \pm 5, \pm 3, \pm 2, \pm 1$ . Ahora, grafica la función.

Si miramos el gráfico, la única raíz racional razonable es 2. Podemos descartar 4 y -4 porque no están incluidos en la lista de raíces racionales. Por lo tanto, estas dos raíces serán irracionales. Realiza una división sintética por 2.

El polinomio sobrante es $x^2-15=0$ . Este polinomio se puede resolver usando raíces cuadradas.

$x^2-15 &= 0\\\x^2 &= 15\\\x &= \pm \sqrt{15} \approx \pm 3.87$

$^*$ En vez de usar el Teorema de la Raíz Racional y las divisiones sintéticas, este problema también se podría haber resuelto usando la factorización por agrupación.

2. Si usas el Teorema de la Raíz Racional, las raíces racionales posibles son: $\pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}$ .

Si miramos el gráfico, las raíces racionales razonables son $-2, -\frac{3}{2}, \frac{1}{3}$ o $\frac{1}{6}$ . Las respuestas racionales son difíciles de ver porque no cruzan el eje $x-$ exactamente en un entero. Por lo tanto, haremos una división sintética para -2 primero.

El polinomio sobrante es $6x^2+7x-3$ , el cual es factorizable. Puedes decidir si te gustaría factorizar este polinomio, usar la Fórmula para Ecuaciones Cuadráticas o probar las posibilidades racionales que vimos anteriormente. Factoricemos.

$& 6x^2+7x-3\\\& 6x^2+9x-2x-3\\\& 3x(2x+3)-1(2x+3)\\\& (3x-1)(2x+3)$

Las soluciones racionales de estos factores son $\frac{1}{3}$ y $-\frac{3}{2}$ .

3. Si usas el Teorema de la Raíz Racional, las raíces racionales posibles son: $\pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1$ .

A partir del gráfico, las raíces posibles son 6 y 1. Pareciera que 1 es una raíz doble, ya que la función alcanza el eje de $x-$ en 1, pero no pasa a través de este. Haz la división sintética con 6, 1 y 1 de nuevo.

El polinomio sobrante es $x^2+4x+1$ . Este no es un polinomio factorizable, así que usa la Fórmula para Ecuaciones Cuadráticas para encontrar las últimas dos raíces.

$x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(1)(1)}}{2(1)}=\frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2}=\frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2}=-2 \pm \sqrt{3} \approx -0.27, -3.73$

Vocabulario

Teorema de la Raíz Racional: Para un polinomio , $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ , en donde $a_n, a_{n-1}, \cdots a_0$ son enteros, las raíces racionales se pueden determinar a partir de los factores de $a_n$ y $a_0$ . Más concretamente, si $p$ es un factor de $a_0$ y $q$ es un factor de $a_n$ , entonces todos los factores racionales tendrán la forma de $\pm \frac{p}{q}$ .

Práctica

Encuentra todas las soluciones racionales posibles para los siguientes polinomios. Usa el Teorema de la Raíz Racional.

$f(x)=x^3+6x^2-18x+20$
$f(x)=4x^4+x^2-15$
$f(x)=-2x^3+7x^2-x+8$
$f(x)=x^4-3x^3-4x^2+15x+9$
$f(x)=8x^4 -5x^3+16x^2+37x-24$

Encuentra todas las soluciones con números reales para cada una de las siguientes funciones. Usa el método que quieras.

$f(x)=6x^3-17x^2+11x-2$
$f(x)=x^4+7x^3+6x^2-32x-32$
$f(x)=16x^3+40x^2-25x-3$
$f(x)=2x^3-9x^2+21x-18$
$f(x)=4x^3-16x^2+39x-295$
$f(x)=18x^4+3x^3-17x^2+17x-55$
$f(x)=x^5+7x^4-3x^3-65x^2-8x-156$
$f(x)=4x^4+20x^3-23x^2-120x+144$
$f(x)=9x^4-226x^2+25$
Resuelve $f(x)=3x^4-x^2-14$ factorizándolo. ¿Cuántas soluciones reales tiene esta solución? ¿Qué tipo de solución(es) pueden ser las otras?

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