Encontrar Soluciones Imaginarias

En esta sección encontrarás todas las soluciones a cualquier polinomio, incluidas las soluciones imaginarias.

Louis calcula que el área de un rectángulo se representa por la ecuación $3x^4 + 7x^2 = 2$ . ¿Hizo el cálculo correcto? Explica

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James Sousa: Ex 4: Find the Zeros of a Polynomial Function with Imaginary Zeros

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En el ejercicio 12 del conjunto de problemas anterior, hay dos soluciones imaginarias. Las solucione imaginarias siempre aparecerán en pares. Para encontrar las soluciones imaginarias de una función, usa la Fórmula para Ecuaciones Cuadráticas. Si necesitas un pequeño repaso de los números imaginarios y de cómo resolver una ecuación cuadrática con soluciones complejas, mira el capítulo Ecuaciones Cuadráticas .

Ejemplo A

Resuelve $f(x)=3x^4-x^2-14$ . (Ejercicio 12 del conjunto de problemas anterior)

Solución: Primero, esta función de cuarto grado se puede factorizar de la misma forma que una ecuación cuadrática. Mira la sección Factorización de Polinomios en Forma Cuadrática de este capítulo para un repaso.

$f(x) &= 3x^4-x^2-14\\\0 &= 3x^4-7x^2+6x^2-14\\\0 &= x^2(3x^2-7)+2(3x^2-7)\\\0 &= (x^2+2)(3x^2-7)$

Ahora, ya que ningún factor se puede seguir factorizando y no hay un término $x-$ podemos establecer cada uno de ellos como igual a cero y resolver.

$& && 3x^2-7=0\\\& x^2+2=0 && 3x^2=7\\\& x^2=-2 \qquad \qquad \qquad \quad and && x^2=\frac{7}{3}\\\& x=\pm \sqrt{-2} \ or \ \pm i \sqrt{2} && x=\pm \sqrt{\frac{7}{3}} \ or \ \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

Incluidas las soluciones imaginarias, hay cuatro, lo que era de esperarse, porque el grado de esta función es cuatro.

Ejemplo B

Encuentra todas las soluciones de la función $g(x)=x^4+21x^2+90$ .

Solución: Cuando se grafica, esta función no toca el eje de $x-$ Por lo tanto, todas las soluciones son imaginarias. Para resolverla, esta función se puede factorizar como una ecuación cuadrática. Los factores de 90 cuya suma es 21 son 6 y 15.

$g(x) &= x^4+21x^2+90\\\0 &= (x^2+6)(x^2+15)$

Ahora, establece cada factor como igual a cero y resuelve.

$& x^2+6=0 && x^2+15=0\\\& x^2=-6 \qquad \qquad \qquad and && x^2=-15\\\& x=\pm i \sqrt{6} && x=\pm i \sqrt{15}$

Ejemplo C

Encuentra la función que tiene la solución 3, -2, y $4 + i$ .

Solución: Debes tener presente que una de las soluciones dadas es imaginaria. Las soluciones imaginarias siempre vienen en pares, por lo que $4 - i$ también es un factor, son complejos conjugados. Ahora, traduce cada solución en un factor y multiplícalos.

Cualquier múltiplo de esta función también tiene estas raíces. Por ejemplo, $2x^4-18x^3+38x^2+62x-204$ también tendría estas raíces.

Revisión del Problema Introductorio Primero, necesitamos cambiar la ecuación a su forma estándar. Entonces podemos factorizarla.

$3x^4 + 7x^2 = 2\\\= 3x^4 + 7x^2 - 2 = 0\\\3x^4 + 7x^2 - 2 = (3x^2 + 1)(x^2 + 2) = 0$

Si calculamos la x obtenemos

$3x^2+1=0 && x^2+2=0\\\& x^2=\frac{-1}{3} \qquad \qquad \qquad and && x^2=-2\\\& x=\pm i \sqrt{\frac{1}{3}} && x=\pm i \sqrt{2}$

Todas las soluciones son imaginarias y el área de un rectángulo debe tener soluciones reales. Por lo tanto, Louis no calculó correctamente.

Práctica Guiada

Encuentra todas las soluciones de las siguientes funciones.

1. $f(x)=25x^3-120x^2+81x-4$

2. $f(x)=4x^4+35x^2-9$

3. Encuentra la ecuación de una función con raíces , $\sqrt{2}$ y $1-i$ .

Respuestas

1. Ahora, grafica la función.

Si usas el Teorema de la Raíz Racional, los ceros reales posibles podrían ser $\frac{1}{25}$ , 1 o 4. Probemos estas tres posibilidades usando la división sintética.

De estas tres posibilidades, solo 4 es un cero. El polinomio sobrante, $25x^2-20x+1$ no es factorizable, por lo que necesitamos usar la Fórmula para Ecuaciones Cuadráticas para encontrar los últimos dos ceros.

$x &= \frac{20 \pm \sqrt{20^2-4(25)(1)}}{2(25)}\\\&= \frac{20 \pm \sqrt{400-100}}{50}\\\& =\frac{20 \pm 10 \sqrt{3}}{50} \ or \ \frac{2 \pm \sqrt{3}}{5} \approx 0.746 \ and \ 0.054$

$^*$ Consejo Útil: Siempre encuentra los valores decimales de cada cero para asegurarte de que coinciden con el gráfico.

2. $f(x)=4x^4+35x^2-9$ es factorizable. $ac = -36$ .

$& 4x^4+35x^2-9\\\& 4x^4+36x^2-x^2-9\\\& 4x^2(x^2+9)-1(x^2+9)\\\& (x^2+9)(4x^2-1)$

Si establecemos cada factor como igual a cero, obtenemos:

$& && 4x^2-1=0\\\& x^2+9=0 && 4x^2=1\\\& x^2=-9 \quad \qquad \qquad or && x^2=\frac{1}{4}\\\& x=\pm 3i && x=\pm \frac{1}{2}$

$^*$ Este problema también podría haberse resuelto usando el mismo método que en el ejercicio 1.

3. Recuerda que las raíces irracionales e imaginarias aparecen en pares. Por lo tanto, las raíces son 4, $\sqrt{2}, {\color{red}-\sqrt{2}},1+i,{\color{red}1-i}$ . Multiplica las 5 raíces.

$& (x-4)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x-(1+i))(x-(1-i))\\\& (x-4)(x^2-2)(x^2-2x+2)\\\& (x^3-4x^2-2x+8)(x^2-2x+2)\\\& x^5-6x^4+8x^3-4x^2-20x+16$

Práctica

Encuentra todas las soluciones de las siguientes funciones. Usa cualquier método.

$f(x)=x^4+x^3-12x^2-10x+20$
$f(x)=4x^3-20x^2-3x+15$
$f(x)=2x^4-7x^2-30$
$f(x)=x^3+5x^2+12x+18$
$f(x)=4x^4+4x^3-22x^2-8x+40$
$f(x)=3x^4+4x^2-15$
$f(x)=2x^3-6x^2+9x-27$
$f(x)=6x^4-7x^3-280x^2-419x+280$
$f(x)=9x^4+6x^3-28x^2+2x+11$
$f(x)=2x^5-19x^4+30x^3+97x^2-20x+150$

Encuentra una función con las siguientes raíces.

$4, i$
$-3, -2i$
$\sqrt{5}, -1 + i$
$2, \frac{1}{3}, 4-\sqrt{2}$
Escribe Anota los pasos que usas para encontrar todos los ceros de una función polinómica.
Escribe ¿Por qué las raíces imaginarias e irracionales siempre aparecen en pares?
Desafío Encuentra todas las soluciones de $f(x)=x^5+x^3+8x^2+8$ .

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