Encontrar y Definir Partes de un Gráfico de una Función Polinómica

En esta sección aprenderás sobre las diferentes partes de los gráficos para polinomios de grado superior.

El prototipo de una montaña rusa se representa con la ecuación $y = x^5 - 8x^3 + 10x + 6$ . ¿Cuál es la altura máxima que la montaña rusa alcanzará sobre el dominio [-1, 2]?

Mira esto

Primero, mira este video.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

James Sousa: Ex: Increasing/ Decreasing/ Relative Extrema from Analyzing a Graph

*Este video solo está disponible en inglés

Después, mira este video.

Haz clic en la imagen de arriba para ver más contenido (requiere conexión a internet)

James Sousa: Summary of End Behavior or Long Run Behavior of Polynomial Functions

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En este punto, deberías estar familiarizado con la idea general de lo que hace el gráfico de una función polinómica. Debería cruzar el eje $x-$ el mismo número de veces que el grado de la ecuación, al menos que existan soluciones imaginarias. Esta se curvará hacia arriba y luego hacia abajo y puede tener un máximo y un mínimo. Definamos ahora las partes de un gráfico de una función polinómica.

Debes tener presente que tanto en las funciones cúbicas (tercer grado, a la izquierda) y las funciones cuadraticas (cuarto grado, a la derecha) no hay un vértice. Ahora tenemos mínimos y máximos. Si hay más de un mínimo o máximo, habrá un máximo/mínimo absoluto , el cual es el menor/mayor punto del gráfico. Un máximo/mínimo local es un máximo/mínimo relativo al punto que lo rodea. Los lugares en donde la función se cruza con el eje $x-$ siguen siendo las soluciones (también llamadas interceptos en $x-$ raíces o ceros). En la función de cuarto grado, hay una raíz repetida en $x = 4$ . Una raíz repetida tocará el eje de $x-$ sin pasar a través de este o también puede dar un "salto" en la curva en ese punto (ver el Ejemplo A). A todos estos puntos juntos (máximos, mínimos, interceptos en, $x-$ e interceptos en $y-$ ) se les llama valores críticos.

Otro punto importante a destacar es el comportamiento final. Es exactamente lo que parece; cómo el "final" del gráfico se comporta o hacia dónde señala. La función cúbica anterior tiene finales que apuntan en la dirección opuesta. Decimos que desde izquierda a derecha, esta función es en su mayoría creciente. Los finales de la función de cuatro grado apuntan en la misma dirección, ambos positivos, tal como una función cuadrática. Cuando consideres el comportamiento final, observa el coeficiente principal y el grado del polinomio.

Ejemplo A

Usa una tabla para graficar $y=x^3$ .

Solución: Dibuja una tabla y selecciona al menos 5 valores para $x$ .

$x$	$x^3$	$y$
-2	$(-2)^3$	-8
-1	$(-1)^3$	-1
0	$0^3$	0
1	$1^3$	1
2	$2^3$	8

Traza los puntos y conéctalos. Esta función en particular es el gráfico básico de las funciones cúbicas. Recuerda las funciones cuadráticas. El gráfico básico tiene un coeficiente principal de 1, no tiene otros términos de $x-$ y no tiene interceptos en $y-$ $y=x^4$ y $y=x^5$ también son gráficos básicos.

Ejemplo B

Analiza el siguiente gráfico. Encuentra los valores críticos, el comportamiento final y encuentra el dominio y el rango.

Solución: Primero, encuentra las soluciones. Parecieran ser (-2, 0), (1, 0) y (2, 0). Por lo tanto, esta función tiene un grado mínimo de 3. Sin embargo, mira el intercepto en $y-$ El gráfico se inclina ligeramente entre el máximo y el mínimo. Este movimiento en el gráfico nos dice que hay dos soluciones imaginarias (recuerda que las soluciones imaginarias siempre aparecen en pares). Por lo tanto, la función tiene un grado de 5. Aproxima los otros valores críticos:

máximo: (-1.1, 10)

mínimo: (1.5, -1.3)

intercepto en $y-$ : (0, 5)

En general, esta función en su mayoría creciente y los finales van en direcciones opuestas. El dominio y el rango son números reales.

Cuando trazas los valores críticos, puedes aproximar su ubicación. En la sección siguiente, usaremos la calculadora graficadora para encontrar estos valores exactos.

Algunas veces puede ser complicado ver si una función tiene soluciones imaginarias a partir del gráfico. Compara los gráficos en el Ejemplo B a la función cúbica anterior. Debes notar que es regular entre el máximo y el mínimo. Como señalamos antes, el gráfico del Ejemplo B se inclina. Toda función con soluciones imaginarias tendrá una figura ligeramente irregular o inclinada como en este ejemplo.

Ejemplo C

Dibuja el gráfico de una función con las raíces $-4, -3, \frac{1}{2}$ , y 3, tiene un máximo absoluto en (2, 5) y tiene un comportamiento final negativo. Esta función no tiene ninguna raíz imaginaria.

Solución: Hay muchas respuestas posibles para este gráfico ya que solo estamos usando un dibujo. Necesitarías más información para obtener una respuesta exacta. Debido a que esta función tiene un comportamiento final negativo y cuatro raíces, sabemos que pasará a través del eje $x-$ 4 veces y luego irá hacia abajo. El máximo absoluto se ubica entre las raíces $\frac{1}{2}$ y 3. Traza estos cinco puntos y conéctalos para formar un gráfico.

Revisión del Problema Introductorio

Usa una tabla para graficar $x^5 - 8x^3 + 10x + 6$ .

Dibuja una tabla y selecciona al menos 5 valores para $x$ . Recuerda que estamos tratando solo con valores de x entre -1 y 2 con éstos últimos incluidos.

$x$	$y$
-1	3
0	6
0.5	10.03125
1	9
2	-16

Traza los puntos y conéctalos.

A partir de tu gráfico puedes ver que la altura máxima que alcanza la montaña rusa es ligeramente superior a 10.

Práctica Guiada

1. Usa una tabla para graficar $f(x)=-(x+2)^2(x-3)$ .

2. Analiza el gráfico. Encuentra todos los valores críticos, el dominio, el rango y describe el comportamiento final.

3. Dibuja un gráfico de la función cúbica con las soluciones de -6 y una raíz repetida en

Respuestas

1. Está función está en una forma de intercepto. Ya que el factor , $(x + 2)$ es un cuadrado, sabemos que es una raíz repetida. Por lo tanto, la función solo debería tocar el punto -2 y no pasar a través del eje $x-$ También hay un cero en 3. Ya que la función es negativa, generalmente será decreciente. Fíjate en la pendiente de la línea entre los dos puntos finales. Será negativa. Selecciona varios puntos alrededor de los ceros para ver el comportamiento del gráfico.

$x$	$y$
-4	14
-2	0
0	12
2	16
3	0
4	-36

2. Hay tres ceros reales aproximadamente en -3, 5, 1 y 7. Presta atención a la curva entre los ceros 1 y 7. Esto indica que hay dos ceros imaginarios, lo que hace que este sea, al menos, un polinomio de quinto grado. Piensa en una línea horizontal imaginaria en $y = 3$ . Esta línea tocaría el gráfico cinco veces, por lo que deberían existir cinco soluciones. Luego, hay un mínimo absoluto en (-0,5, -7,5), un máximo local en (2,25, 5), un mínimo local en (2,25, 2,25) y un máximo absoluto en (5, 6). El intercepto en $y-$ está en (0, -6). El dominio y el rango son números reales y el comportamiento final es en su mayoría decreciente.

3. Que la función sea "en su mayoría creciente" significa que la pendiente de la línea que conecta los dos finales (flechas) es positiva. Luego, la función debe pasar a través de (-6, 0) y tocar, pero no atravesar (1, 0). A partir de esta información, el máximo debe darse entre los dos ceros y el mínimo será la raíz doble.

Vocabulario

Máximo/Mínimo Absoluto: El punto mayor/menor de una función. Cuando te refieras al máximo/mínimo absoluto, usa el valor $y-$ .

Máximo/Mínimo Local: El punto mayor/menor relativo a los puntos que lo rodean. Una función puede tener múltiples máximos o mínimos locales.

Soluciones: Los interceptos en $x-$ También se les llama raíces o ceros.

Valores Críticos: Los interceptos en $x-$ los máximos, los mínimos y el intercepto en $y-$

Comportamiento Final: Como lucen los finales de un gráfico. El comportamiento final depende del grado de la función y del coeficiente principal.

Gráfico Básico: La función más básica de un tipo en particular. Tiene un coeficiente principal de1, no términos $x-$ terms, and no constant.

Práctica

Usa los valores de $x-$ dados para hacer una tabla y graficar las siguientes funciones.

$f(x) &= x^3-7x^2+15x-2\\\x &= -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$
$g(x) &= -2x^4 - 11x^3 - 3x^2+37x+35\\\x &= -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$
$y &=2x^3+25x^2+100x+125\\\x &= -7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0$

Crea tu propia tabla y grafica las siguientes funciones.

$f(x)=(x+5)(x+2)(x-1)$
$y=x^4$
$y=x^5$
Analiza los gráficos de $y=x^2, y=x^3, y=x^4$ , y $y=x^5$ . Todas estas son funciones básicas. ¿Cómo crees que lucirán los gráficos de $y=x^6$ y de $y=x^7$ ?¿Qué puedes decir sobre el comportamiento final de todas las funciones pares?¿De las funciones impares?¿Cuáles son las soluciones para estas funciones?
Escribe ¿Cuántas raíces repetidas puede tener una función?¿Por qué?

Analiza los gráficos de las siguientes funciones. Encuentra todos los valores críticos, el dominio, el rango y el comportamiento final.

Para las preguntas 13 a la 15, dibuja un boceto de las siguientes funciones con números reales.

Dibuja dos gráficos diferentes de una función cúbica con ceros de -1, 1 y 4,5 y un mínimo de -4.
n polinomio de cuarto grado con raíces de -3,2, -0,9, 1,2 y 8,7, comportamiento final positivo y un mínimo local de -1,7.
Una función de cuarto grado con las soluciones de -7, -4, 1 y 2, comportamiento final negativo y un máximo absoluto en. $\left(-\frac{11}{2}, \frac{1755}{128}\right)$ .
Desafío: Encuentra la ecuación de la función del ejercicio 15.

Prev Next