Graficar Funciones Polinómicas con una Calculadora Graficadora

En esta sección aprenderás cómo graficar funciones polinómicas y encontrar valores críticos usando una calculadora graficadora.

Para hacer una carrera justa entre un auto arreglado y un auto divertido, un científico concibió la siguiente ecuación polinómica:

$f(x) = 71.682x -60.427x^2 + 84.710x^3 -27.769x^4 + 4.296x^5 - 0.262x^6$ . ¿Cuál es el punto máximo del gráfico de esta función?

Source: http://ceee.rice.edu/Books/CS/chapter3/data1.html

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James Sousa: Ex: Solve a Polynomial Equation Using a Graphing Calculator (Approximate Solucións)

*Este video solo está disponible en inglés

Orientación

En el capítulo de las Funciones Cuadráticas, usaste la calculadora graficadora para graficar parábolas. Ahora, nos expandiremos más allá de ese conocimiento y graficaremos polinomios de grados superiores. Entonces, usaremos la calculadora graficadora para encontrar los ceros, máximos y mínimos.

Ejemplo A

Grafica $f(x)=x^3+x^2-8x-8$ usando una calculadora graficadora.

Solución: Estas instrucciones son para una calculadora modelo TI-93 o 84 . Primero, presiona $Y=$ .Si hay muchas funciones en esta ventana, límpiala seleccionando el signo = y presiona ENTER. Ahora, en $Y1$ , ingresa el polinomio. Debería verse así: $x^\land 3+x^\land 2-8x-8$ . Presiona GRAPH .

Para ajustar la ventana, presiona ZOOM . Para obtener la típica pantalla de -10 a 10 (para ambos ejes), presiona 6:ZStandard. Para alejarte, presiona ZOOM, 3:ZoomOut, ENTER, ENTER. Para esta función en particular, la ventana necesita ir de -15 a 15 para y $x$ para $y$ . Para introducir manualmente la ventana, presiona WINDOW y cambia el $Xmin, Xmax, Ymin,$ y el $Ymax$ que puedes ver en los ceros, mínimos y máximos. Tu gráfico debería lucir como el de la derecha.

Ejemplo B

Encuentra los ceros, el máximo y el mínimo de la función del Ejemplo A.

Solución: Para encontrar los ceros, presiona $2^{nd}$ TRACE para obtener el menú CALC Selecciona 2:Zero ay la calculadora te preguntará ¿"Lado Izquierdo"? Mueve el cursor (presionando $\uparrow$ o $\downarrow$ ) para que quede justo al lado izquierdo de un cero. Presiona ENTER. Entonces, te preguntará ¿"Lado Derecho"? Mueve el cursor justo a la derecha de ese cero. Presiona ENTER. Entonces la calculadora preguntará ¿"Suposición"? En este punto, puedes ingresar lo que creas que es un cero y presionar ENTER de nuevo. Entonces la calculadora te dará el cero exacto. Para el gráfico del Ejemplo A, necesitarás repetir esto tres veces. Los ceros son -2,83, -1 y 2,83.

Para encontrar el mínimo y el máximo, el proceso es casi idéntico al de encontrar ceros. En vez de seleccionar 2:Zero , selecciona 3:min o 4:max . El mínimo es (1,33, -14,52) y el máximo es (-2, 4).

Ejemplo C

Encuentra el intercepto en $y-$ del gráfico del Ejemplo A.

Solución: Si decides no usar la calculadora, conecta en cero para $x$ y resuelve para y resuelve para $y$ .

$f(0) &= 0^3+0^2 - 8 \cdot 0 - 8\\\&= -8$

Usa la calculadora graficadora, presiona $2^{nd}$ TRACE para obtener el menú CALC Selecciona 1:value. $X=$ aparecerá al final de la pantalla. Si hay algún otro valor ahí, presiona CLEAR para removerlo. Entonces presiona 0 y ENTER. Entonces, la calculadora debería decir “ $Y=-8$ .”

Revisión del Problema Introductorio Si introduces la ecuación $f(x) = 71.682x -60.427x^2 + 84.710x^3 -27.769x^4 + 4.296x^5 - 0.262x^6$ en tu calculadora, te darás cuenta que el máximo ocurre cuando $x = 6.15105$ . Con ese valor de x , f(x) es igual a 1754,43. Por lo tanto, el punto máximo del gráfico de la función es (6,15105, 1754,43).

Práctica Guiada

Grafica y encuentra los valores críticos de las siguientes funciones.

1. $f(x)=-\frac{1}{3}x^4-x^3+10x^2+25x-4$

2. $g(x)=2x^5-x^4+6x^3+18x^2-3x-8$

3. Encuentra el dominio y el rango de las dos funciones anteriores.

4. Describe los tipos de soluciones, tan específico como te sea posible, de la pregunta 2.

Respuestas

Usa los pasos que se dieron en los Ejemplos $A, B$ , y $C$ .

1. ceros: -5.874, -2.56, 0.151, 5.283

intercepto en $y-$ : (0, -4)

mínimo: (-1.15, -18.59)

máximo local: (-4.62, 40.69)

máximo absoluto: (3.52, 113.12)

2. ceros: -1.413, -0.682, 0.672

intercepto en $y-$ : (0, -8)

mínimo: (-1.11, 4.41)

máximo: (0.08, -8.12)

3. TEl dominio del ejercicio 1 está compuesto de números reales y el rango está compuesto de números reales menores que el máximo; $(-\infty, 113.12]$ . El dominio y el rango del ejercicio 2 son números reales.

4. Hay tres soluciones irracionales y dos soluciones imaginarias.

Práctica

Grafica las preguntas 1 a la 6 en tu calculadora graficadora. Dibuja el gráfico en una ventana apropiada. Luego, encuentra todos los valores críticos, el dominio, el rango y describe el comportamiento final.

$f(x)=2x^3+5x^2-4x-12$
$h(x)=-\frac{1}{4}x^4-2x^3-\frac{13}{4} x^2-8x-9$
$y=x^3-8$
$g(x)=-x^3-11x^2-14x+10$
$f(x)=2x^4+3x^3-26x^2-3x+54$
$y=x^4+2x^3-5x^2-12x-6$
¿Cuáles son los tipos de soluciones en el ejercicio 2?
Encuentra las dos soluciones imaginarias en el ejercicio 3.
Encuentra los valores exactos de las raíces irracionales del ejercicio 5.

Determina si los siguientes enunciados A VECES, SIEMPRE o NUNCA son verdad. Explica tu razonamiento.

El rango de una función par es $(-\infty, max]$ , en donde max es el máximo de la función.
El dominio y el rango de todas las funciones impares son números reales.
Una función puede tener exactamente tres soluciones imaginarias.
Un polinomio de grado $n^{th}$ tiene $n$ soluciones reales.
El gráfico básico de cualquier función polinómica tiene un cero.
Desafío El valor exacto de uno de los ceros en el ejercicio 2 es $-4+\sqrt{7}$ . ¿Cuál es el valor exacto de la otra raíz? Luego, usa esta información para encontrar las raíces imaginarias.