Definir Raíces nth

En esta sección, aprenderás a definir y usar raíces $n^{th}$ .

El volumen de un cubo es $343s^7$ . ¿Cuál es el largo de cada lado del cubo?

Orientación

Hasta ahora, hemos visto exponentes con enteros y la raíz cuadrada. En este concepto, relacionaremos raíces y exponentes. Primero, definamos raíces adicionales. Al igual que el cuadrado y la raíz cuadrada son inversas de cada una, la inversa de un cubo es la raíz cúbica. La inversa de la cuarta potencia y la raíz cuarta.

$\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{3^3}=3, \sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2$

La $n^{th}$ raíz de un número, $x^n$ , es $x, \sqrt[n]{x^n}=x$ . Y de la misma forma en que simplificamos raíces cuadradas, podemos simplificar raíces $n^{th}$ .

Ejemplo A

Encuentra $\sqrt [6]{729}$ .

Solución: Para simplificar un número a la raíz sexta, deben haber 6 de mismo factor para obtener la raíz.

$729=3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3=3^6$

Por lo tanto, $\sqrt[6]{729}=\sqrt[6]{3^6}=3$ . La raíz sexta y la sexta potencia se cancelan entre sí. Decimos que 3 es la raíz sexta de 729.

Para este ejemplo, podemos ver que no importa donde se ubique el exponente, siempre se cancelará con la raíz.

$\sqrt[6]{3^6}&=\sqrt[6]{3}^6 \ or \ \left(\sqrt[6]{3} \right)^6\\\\sqrt[6]{729}&=\left(1.2009 \ldots\right)^6\\\3&=3$

Así, no importa si evalúas primero la raíz o el exponente.

Teorema de la Raíz $n^{th}$ : Para cualquier número real $a$ , raíz $n$ , y exponente $m$ , lo siguiente es siempre cierto: $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n]{a}^m=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ .

Ejemplo B

Evalua sin usar una calculadora:

a) $\sqrt[5]{32^3}$

b) $\sqrt{16}^3$

Solución:

a) Si resuelves este problema como está escrito, primero encontrarías $32^3$ y luego aplicarías la raíz $5^{th}$ .

$\sqrt[5]{32^3}=\sqrt[5]{38768}=8$

Sin embargo, sería muy difícil sin la ayuda de una calculadora. Este es un ejemplo en el que sería más fácil aplicar la raíz y luego el exponente. Rescribamos la expresión y resolvamos

$\sqrt[5]{32}^3=2^3=8$

b) No necesitas rescribir este problema. $\sqrt{16}=4$ y luego $4^3 = 64$ .

Ejemplo C

Simplifica:

a) $\sqrt[4]{64}$

b) $\sqrt[3]{\frac{54x^3}{125y^5}}$

Solución:

a) Para simplificar la raíz cuarta de un número, deben haber 4 del mismo factor para obtener la raíz. Escribamos la descomposicion de factores primos de 64 y simplifiquemos.

$\sqrt[4]{64}=\sqrt[{\color{red}4}]{{\color{red}2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2}\cdot 2\cdot 2}=2\sqrt[4]{4}$

Nota que el 2 se repite 6 veces en 64. Podemos sacar 4 de ellos y quedan 2 bajo el radical.

b) De la misma manera en que simplificamos fracciones con raíces cuadradas, podemos separar el numerador y el denominador.

$\sqrt[3]{\frac{{54x^3}}{{125y^5}}}= \frac{\sqrt[3]{54x^3}}{\sqrt[3]{125y^5}}=\frac{\sqrt[{\color{red}3}]{2 \cdot{\color{red}3\cdot 3\cdot 3}\cdot {\color{red}x^3}}}{\sqrt[{\color{blue}3}]{{\color{blue}5\cdot 5\cdot 5\cdot y^3}\cdot y^2}}=\frac{3x\sqrt[3]{2}}{5y\sqrt[3]{y^2}}$

Nota que debido a que $x$ está al cubo, el cubo y la raíz cúbica se cancelan entre sí. Con el término $y$ -había cinco, por lo tanto, se cancelan tres con la raíz, pero hay dos aun bajo el radical.

Revisión del Problema Introductorio Recuerda que el volumen de un cubo es $V = s^3$ , donde s es el largo de cada lado. Por lo que para encontrar el largo del lado, toma la raíz cubica de $343z^7$ .

Primero, puedes separar este número en dos raíces diferentes, $\sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{z^7}$ . Ahora, simplifica cada raíz.

$\sqrt[3]{343}\cdot \sqrt[3]{z^7} = \sqrt[3]{7^3}\cdot \sqrt[3]{z^3\cdot z^3 \cdot z}= 7z^2 \sqrt[3]{z}$

Por lo tanto, el largo de cada lado del cubo es $7z^2 \sqrt[3]{z}$ .

Práctica Guiada

Simplifica cada expresión a continuación, sin la ayuda de una calculadora.

1. $\sqrt[4]{625z^8}$

2. $\sqrt[7]{32x^5y}$

3. $\sqrt[5]{9216}$

4. $\sqrt[3]{\frac{40}{175}}$

Respuestas

1. Primero, puedes separar este número en dos diferentes raíces, $\sqrt[4]{625} \cdot \sqrt[4]{z^8}$ . Ahora, simplifica cada raíz.

$\sqrt[4]{625}\cdot \sqrt[4]{z^8} = \sqrt[4]{5^4}\cdot \sqrt[4]{z^4\cdot z^4}= 5z^2$

Al mirar a los $z^8$ , piensa acerca de cuántos $z^4$ puedes sacar de la raíz cuarta. La respuesta es 2, o un $z^2$ , fuera del radical.

2. $32 = 2^5$ , lo que significa que no hay siete 2 que puedan ser sacados del radical. Sucede lo mismo con $x^5$ e $y$ . Por lo tanto, solo puedes simplificar la expresión hasta este punto.

3. Escribe la descomposición de factores primos de 9216 y sepáralos en grupos de 5.

$\sqrt[5]{9216}&=\sqrt[5]{\boxed{2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}\cdot \boxed{2\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2} \cdot 3\cdot 3}\\\&=\sqrt[5]{2^5\cdot 2^5 \cdot 3^2}\\\&=2\cdot 2 \sqrt[5]{3^2}\\\&=4\sqrt[5]{9}$

4. Reduce la fracción, separa el numerador y el denominador, y simplifica.

$\sqrt[3]{\frac{40}{175}}=\sqrt[3]{\frac{8}{35}}=\frac{\sqrt[3]{2^3}}{\sqrt[3]{35}}={\color{red}{\frac{2}{\sqrt[3]{35}}}\cdot} {\color{red}{\frac{\sqrt[3]{35^2}}{\sqrt[3]{35^2}}}}=\frac{2\sqrt[3]{1225}}{35}$

En el paso rojo, racionalizamos el denominador multiplicando la parte de arriba y de abajo por $\sqrt[3]{35^2}$ , para que el denominador sea $\sqrt[3]{35^3}$ o solo 35. ¡Ten cuidado al racionalizar el denominador con raíces muy grandes!

Vocabulario

Raíz $n^{th}$: La raíz $n^{th}$ de un número, $x^n$ , es $x, \sqrt[n]{x^n}=x$ .

Práctica

Reduce las siguientes expresiones radicales.

$\sqrt[3]{81}$
$\sqrt[4]{625}^3$
$\sqrt{9^5}$
$\sqrt[5]{128}$
$\sqrt{\sqrt{10000}}$
$\sqrt{\frac{25}{8}}^4$
$\sqrt[6]{64}^5$
$\sqrt[3]{\frac{8}{81}}^2$
$\sqrt[4]{\frac{243}{16}}$
$\sqrt[3]{24x^5}$
$\sqrt[4]{48x^7y^{13}}$
$\sqrt[5]{\frac{160x^8}{y^7}}$
$\sqrt[3]{1000x^6}^2$
$\sqrt[4]{\frac{162x^5}{y^3z^{10}}}$
$\sqrt{40x^3y^4}^3$