Exponentes Racionales y Raíces

En esta sección, aprenderás sobre exponentes racionales y a relacionarlas con raíces $n^{th}$ .

La distancia máxima de un planeta del sol (en unidades astronómicas) está dada por la fórmula $d = p^{\frac {2}{3}}$ , donde p es el periodo (en años) de la órbita del planeta alrededor del sol. Si la órbita de un planeta es de 27 años, ¿Cuál es la distancia del sol?

Orientación

Ahora que estás familiarizado con las raíces nth, las convertiremos en exponentes. Miremos a la raíz cuadrada y veamos si podemos usar las propiedades de los exponentes para determinar a que número exponencial es equivalente.

Investigación: Escribiendo la Raiz Cuadrada como un Exponente

1. Evalúa $\left(\sqrt{x}\right)^2$ . ¿Qué ocurre?

La $\sqrt{\;\;}$ y el $^2$ se cancelan entre sí, $\left(\sqrt{x}^2\right)=x$ .

2. Recuerda que cuando una potencia es elevada a otra potencia, se multiplican los exponentes. Por lo tanto, podemos rescribir los exponentes y las raíces como una ecuación, $n\cdot 2=1$ . Encuentra la incógnita de $n$ .

$\frac{n \cdot \cancel{2}}{\cancel{2}}&=\frac{1}{2} \\\n&=\frac{1}{2}$

3. Del ejercicio #2, podemos concluir que $\sqrt{\;\;}=\frac{1}{2}$ .

$\left(\sqrt{x}\right)^2=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^2=x^{\left(\frac{1}{2}\right)\cdot 2}=x^1=x$

De esta investigación, vemos que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ . También podemos ampliar esta idea a otras raíces; $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}},\ldots \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$ .

Ejemplo A

Encuentra $256^{\frac{1}{4}}$ .

Solución: Rescribe esta expresión en términos de raíces. Un número elevado a la potencia ¼ es lo mismo que la raíz cuarta.

$256^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{256}=\sqrt[4]{4^4}=4$

Por lo tanto, $256^{\frac{1}{4}}=4$ .

Ejemplo B

Encuentra $49^{\frac{3}{2}}$ .

Solución: Este problema es el mismo que los problemas en el concepto anterior. Sin embargo, ahora, la raíz se escribe en la potencia. Rescribe este problema.

$49^{\frac{3}{2}}=\left(49^3\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{49^3}$ o $\left(\sqrt{49}\right)^3$

De la sección anterior, sabemos que es más fácil evaluar la segunda opción de arriba. $\left(\sqrt{49}\right)^3=7^3=343$ .

Teorema de Exponentes Racionales: Para cualquier número real $a$ , raíz $n$ , y exponente $m$ , lo siguiente es siempre cierto: $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$ .

Ejemplo C

Encuentra $5^{\frac{2}{3}}$ usando una calculadora. Aproxima tu respuesta a la centésima más cercana.

Solución: Para realizar este ejercicio en tu calculadora, las teclas probablemente lucirían así: $5^{\frac{2}{3}}$ . El símbolo “^” se usa para indicar una potencia. Cualquier cosa entre paréntesis después de “^” estaría en el exponente. Evaluando esto, tenemos 2.924017738..., o solo 2.92.

Otras calculadoras podrían tener un botón $x^y$ Este botón tiene la misma función de ^ y se usa de la misma manera.

Revisión del Problema Introductorio Sustituye 27 por p y resuelve.

$d = 27^{\frac{2}{3}}$

Rescribe el problema.

$27^{\frac{2}{3}}=\left(27^2\right)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27^2}$ o $\sqrt[3]{27}^2$

$\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9$ .

Por lo tanto, la distancia del planeta respecto del sol es de 9 unidades astronómicas.

Práctica Guiada

1. Rescribe $\sqrt[7]{12}$ usando exponentes racionales. Luego, usa una calculadora para encontrar la respuesta.

2. Rescribe $845^{\frac{4}{9}}$ usando raíces. Luego, usa una calculadora para encontrar la respuesta.

Evalúa sin la ayuda de tu calculadora.

3. $125^{\frac{4}{3}}$

4. $256^{\frac{5}{8}}$

5. $\sqrt{81^{\frac{1}{2}}}$

Respuestas

1. Usando exponentes racionales, la raíz $7^{th}$ se vuelve la potencia $\frac{1}{7}$ ; $12^{\frac{1}{7}}=1.426$ .

2. Usando raíces, el 9 en el denominador del exponente es la raíz; $\sqrt[9]{845^4}=19.99$ . Para realizar este problema en tu calculadora, puedes usar los exponentes racionales. Si tienes la TI-83 o 84, presiona MATH y selecciona 5 : $\sqrt[x]{\;\;}$ . En la pantalla, debes escribir $9\sqrt[x]{\;\;} \ 845^\land 4$ para obtener la respuesta correcta. Además, puedes ingresar $845^\land {\left(\frac{4}{9}\right)}$ y obtener la misma respuesta exacta

3. $125^{\frac{4}{3}}=\left(\sqrt[3]{125}\right)^4=5^4=625$

4. $256^{\frac{5}{8}}=\left(\sqrt[8]{256}\right)^5=2^5=32$

5. $\sqrt{81^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{9}=3$

Vocabulario

Exponente Racional: Un exponente que puede ser escrito como fracción. Para cualquier raíz $n^{th}$ la $n$ de la raíz puede ser escrita en el denominador de un exponente racional. $\sqrt[{\color{red}n}]{x}=x^{\frac{1}{{\color{red}n}}}$ .

Práctica

Escribe las siguientes expresiones usando exponentes racionales y luego evalúa usando una calculadora. Las respuestas se deben aproximar a la centésima más cercana.

$\sqrt[5]{45}$
$\sqrt[9]{140}$
$\sqrt[8]{50}^3$

Escribe las siguientes expresiones usando raíces y luego evalúa usando una calculadora. Las respuestas se deben aproximar a la centésima más cercana.

$72^{\frac{5}{3}}$
$95^{\frac{2}{3}}$
$125^{\frac{3}{4}}$

Evalúa las siguientes expresiones sin la ayuda de tu calculadora.

$64^{\frac{2}{3}}$
$27^{\frac{4}{3}}$
$16^{\frac{5}{4}}$
$\sqrt{25^3}$
$\sqrt[2]{9}^5$
$\sqrt[5]{32^2}$

Para los siguientes problemas, rescribe la expresiones con exponentes racionales y luego simplifica el exponente y evalúa sin usar la calculadora.

$\sqrt[4]{\left(\frac{2}{3}\right)^8}$
$\sqrt[3]{\frac{7}{2}}^6$
$\sqrt{\left(16\right)^{\frac{1}{2}}}^6$

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