Aplicar las Leyes de los Exponentes a los Exponentes Racionales

En esta sección, aprenderás a usar las leyes de los exponentes con exponentes racionales.

El periodo de un péndulo (en segundos) con un largo de L (en metros) está dado por la formula $P = 2\pi{(\frac{L}{9.8})}^{\frac{1}{2}}$ . Si el largo de un péndulo es $9.8^{\frac{8}{3}}$ , ¿Cual es su periodo?

Orientación

Cuando simplificamos expresiones con exponentes racionales, todas las leyes de exponentes que aprendimos en el capítulo de Funciones Polinomiales son válidas. Además, las reglas de las fracciones también se pueden aplicar.

Ejemplo A

Simplifica $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{3}{4}}$ .

Solución: Recuerda de las Propiedades del Producto de los Exponentes, que cuando dos números con la misma base son multiplicadas sumamos los exponentes. Aquí, los exponentes no tienen la misma base, por lo que tenemos que encontrar un común denominador y luego sumar los numeradores.

$x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{2}{4}}\cdot x^{\frac{3}{4}}=x^{\frac{5}{4}}$

Este exponente racional no se reduce, por lo que queda tal cual.

Ejemplo B

Simplifica $\frac{4x^{\frac{2}{3}}y^4}{16x^3y^{\frac{5}{6}}}$

Solución: este problema utiliza la Propiedad de Cocientes de los exponentes. Resta los exponentes con la misma base y reduce $\frac{4}{16}$ .

$\frac{4x^{\frac{2}{3}}y^4}{16x^3y^{\frac{5}{6}}}=\frac{1}{4}x^{{\left(\frac{2}{3}\right)}-3}y^{\frac{4-5}{6}}=\frac{1}{4}x^{\frac{-7}{3}}y^{\frac{19}{6}}$

Si escribes tu respuesta en términos de exponentes, tu respuesta sería $\frac{y^{\frac{19}{6}}}{4x^{\frac{7}{3}}}$ . Nota, que cuando un exponente racional es impropio no lo cambiamos a un número mixto.

Si tuvieras que escribir la repuesta usando raíces, entonces sacaríamos los números enteros. Por ejemplo, $y= \frac{19}{6}$ puede ser escrita como $y^{\frac{19}{6}}=y^3y^{\frac{1}{6}}=y^3\sqrt[6]{y}$ porque 6 esta en 19, 3 veces con un remanente de 1.

Ejemplo C

Simplifica $\frac{\left(2x^{\frac{1}{2}}y^6\right)^{\frac{2}{3}}}{4x^{\frac{5}{4}}y^{\frac{9}{4}}}$ .

Solución: En el numerador, la expresión entera es elevada a la potencia $\frac{2}{3}$ Distribuye esta potencia a todo lo que está en el paréntesis. Luego, usa la propiedad de Potencias de los exponentes y rescribe 4 como $2^2$ .

$\frac{\left(2x^{\frac{1}{2}}y^6\right)^{\frac{2}{3}}}{4x^{\frac{5}{4}}y^{\frac{9}{4}}}=\frac{2^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}y^4}{2^2x^{\frac{5}{4}}y^{\frac{9}{4}}}$

Combina los términos semejantes restando los exponentes.

$\frac{2^{\frac{2}{3}}x^{\frac{1}{3}}y^4}{2^2x^{\frac{5}{4}}y^{\frac{9}{4}}} = 2^{\left(\frac{2}{3}\right)-2}x^{\left(\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{5}{4}\right)}y^{4-\left(\frac{9}{4}\right)}=2^{\frac{-4}{3}}x^{\frac{-11}{12}}y^{\frac{7}{4}}$

Finalmente, rescribe la respuesta con exponentes positivos moviendo el 2 y $x$ en el denominador. $\frac{y^{\frac{7}{4}}}{2^{\frac{4}{3}}x^{\frac{11}{12}}}$

Revisión del Problema Introductorio Sustituye $9.8^{\frac{8}{3}}$ por L y resuelve.

$P = 2\pi{(\frac{L}{9.8})}^{\frac{1}{2}}\\\P = 2\pi{(\frac{9.8^{\frac{8}{3}}}{9.8})}^{\frac{1}{2}}\\\P = 2\pi{(\frac{9.8^{\frac{8}{3}}}{9.8^{\frac{3}{3}}})^{\frac{1}{2}}}\\\P = 2\pi{(9.8^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{2}}}\\\P = 2\pi{(9.8)^{\frac{5}{6}}}$

Por lo tanto, el periodo del péndulo es $P = 2\pi{(9.8)^{\frac{5}{6}}}$ .

Práctica Guiada

Simplifica cada expresión. Reduce todos los exponentes racionales y escribe tus respuestas usando exponentes positivos.

1. $4d^{\frac{3}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{3}}d^{\frac{2}{5}}$

2. $\frac{w^{\frac{7}{4}}}{w^{\frac{1}{2}}}$

3. $\left(3^{\frac{3}{2}}x^4 y^{\frac{6}{5}}\right)^{\frac{4}{3}}$

Respuestas

1. Cambia 4 y 8 para que sean potencias de 2 y luego suma los exponentes con la misma base.

$4d^{\frac{3}{5}} \cdot 8^{\frac{1}{3}}d^{\frac{2}{5}}=2^2 d^{\frac{3}{5}} \cdot \left(2^3\right)^{\frac{1}{3}}d^{\frac{2}{5}}=2^3 d^{\frac{5}{5}}=8d$

2. Resta los exponentes. Cambia la potencia $\frac{1}{2}$ a $\frac{2}{4}$ .

$\frac{w^{\frac{7}{4}}}{w^\frac{1}{2}}= \frac{w^{\frac{7}{4}}}{w^{\frac{2}{4}}}=w^{\frac{5}{4}}$

3. Distribuye la potencia $\frac{4}{3}$ a todo lo que está dentro del paréntesis y reduce.

$\left(3^{\frac{3}{2}}x^4 y^{\frac{6}{5}}\right)^{\frac{4}{3}}=3^{\frac{12}{6}}x^{\frac{16}{3}}y^{\frac{24}{15}}=3^2 x^{\frac{16}{3}}y^{\frac{8}{5}}=9x^{\frac{16}{3}}y^{\frac{8}{5}}$

Práctica