Graficar Funciones de Raíces Cuadradas

En esta sección, aprenderás a graficar la función de una raíz cuadrada con la ayuda y sin la ayuda de una calculadora.

La señora Garcia dio como tarea graficar la función $y = -\sqrt{x + 2} - 3$ Al otro día, les pregunto a sus alumnos en que cuadrante estaban sus gráficos.

Alendro dijo que por ser una raíz cuadrada, solo podía haber valores positivos y por lo tanto, su gráfico estaba solo en el primer cuadrante.

Dako dijo que debido a los dos signos negativos, todos los valores y eran positivos, por lo tanto, su gráfico estaba en el primer y segundo cuadrante.

Marisha dijo que ambos estaban equivocados y que por ser una función de raíz cuadrada, su gráfico estaba en el tercer y cuarto cuadrante .

¿Quién está en lo correcto?

Orientación

Una función de raíz cuadrada tiene la forma $y=a \sqrt{x-h}+k$ , donde $y=\sqrt{x}$ es el gráfico guía. Al graficar obtenemos:

x	y
16	4
9	3
4	2
1	1
0	0
-1	und

Nota que esta forma es la mitad de una parábola, situada en su lado. Para $y= \sqrt{x}$ , la salida es la misma que la entrada de $y=x^2$ . El dominio y el rango de $y= \sqrt{x}$ son todos números reales positivos, incluyendo el cero. $x$ no puede ser negativa porque no puedes tomar la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo A

Grafica $y= \sqrt{x-2}+5$ sin la calculadora.

Solución: Para graficar esta función, dibuja una tabla. $x=2$ es un valor crítico porque hace el cero radical.

x	y
2	5
3	6
6	7
11	8

Después de graficar los puntos, podemos ver que la forma es exactamente la misma que la del gráfico guía. Solo se desplaza 5 hacia arriba y 2 a la derecha. Por lo tanto, podemos concluir que $h$ es el cambio horizontal y $k$ es el cambio vertical .

El dominio es todos los números reales donde $x \ge 2$ y el rango es todos los números reales donde $y \ge 5$ .

Ejemplo B

Grafica $y=3 \sqrt{x+1}$ . Encuentra el dominio y el rango.

Solución: Del ejemplo anterior, ya sabemos que va a haber un cambio horizontal de una unidad hacia la izquierda. El 3 en frente del radical cambia el ancho de la función. Hagamos una tabla.

x	y
$-1$	0
0	3
3	6
8	9
15	12

Nota que este gráfico crece más rápido que el gráfico guía. Extrayendo $(h, k)$ de la ecuación, el punto inicial es $(-1, 0)$ y luego en vez de incrementar a una “pendiente” de 1, esta es tres veces más grande.

Ejemplo C

Grafica $f(x)=- \sqrt{x-2}+3$ .

Solución: Extrayendo $(h, k)$ de la ecuación, encontramos que el punto inicial es $(2, 3)$ . El signo negativo en frente del radical indica una reflexión. Hagamos una tabla. Debido a que el punto inicial es $(2, 3)$ , solo podemos tomar valores de $x$ -después de $x=2$ .

x	y
2	3
3	2
6	1
11	0
18	-1

El signo negativo en frente del radical, ahora vemos, da como resultado una reflexión sobre el eje $x$ -.

Usando la calculadora gráfica: Si querías usar esta función con la TI-83 o 84, presiona $Y=$ y borra cualquier otra función. Luego, presiona el signo negativo, (-) y 2nd $x^2$ , el cual es $\sqrt{\;\;}$ . Luego, escribe el resto de la función, para obtener $Y=- \sqrt{\;\;}(X-2)+3$ . Presiona GRAPH y ajusta la pantalla.

Revisión del Problema Introductorio Si graficas la función $y = -\sqrt{x + 2} - 3$ , verás que su dominio es $x \ge -2$ , lo que hace que todos los cuadrantes sean posibles. Pero su rango es $y \le -3$ , limitando el gráfico al tercer y cuarto cuadrante. Por lo tanto, Marisha Esta en lo correcto.

Práctica Guiada

1. Evalúa $y=-2 \sqrt{x-5}+8$ cuando $x=9$ .

Grafica las siguientes funciones de raíces cuadradas. Describe la relación con la grafica guía y encuentra el dominio y el rango. Usa una calculadora gráfica para el ejercicio #3.

2. $y=\sqrt{-x}$

3. $f(x)= \frac{1}{2} \sqrt{x+3}$

4. $f(x)=-4 \sqrt{x-5}+1$

Respuestas

1. Reemplaza $x=9$ en la ecuación y encuentra la incógnita de $y$ .

$y=-2 \sqrt{9-5}+8=-2 \sqrt{4}+8=-2(2)+8=-4+8=-4$

2. Aquí, el número negativo esta bajo el radical. Este gráfico es una reflexión del gráfico guía sobre el eje $y$ -.

El dominio es todos los números reales menores que o igual a cero. El rango es todos los números reales mayores que o iguales a cero.

3. El punto de inicio de esta función es $(-3, 0)$ y “crecerá” la mitad de lo que crecerá el gráfico guía.

El dominio es todos los números reales mayores que o iguales a -3. El rango es todos los números reales mayores que o iguales a cero.

4. Usando la calculadora gráfica, la función se debe escribir como: $Y=-4 \sqrt{\;\;}(X-5) + 1$ . Esta será una reflexión sobre el eje $x$ tiene un punto de inicio en $(5, 1)$ y crece cuatro veces de lo que crecerá el gráfico guía.

Vocabulario

Ecuación General para la función de una Raíz Cuadrada: $f(x)=a \sqrt{x-h}+k$ donde $h$ es el cambio horizontal y $k$ es el cambio vertical.

Punto de inicio: El punto inicial de la función de una raíz cuadrada, $(h, k)$ .

Práctica

Evalúa la función, $f(x)=-\sqrt{x-4}+3$ para los siguientes valores de x .

$f(3)$
$f(6)$
$f(13)$
¿Cuál es el dominio de esta función?

Grafica las siguientes funciones de raíces cuadradas y encuentra el dominio y el rango. Usa tu calculadora para comprobar tus respuestas.

$f(x)=\sqrt{x+2}$
$y=\sqrt{x-5}-2$
$y=-2 \sqrt{x+1}$
$f(x)=1+ \sqrt{x-3}$
$f(x)=\frac{1}{2} \sqrt{x+8}$
$f(x)=3 \sqrt{x+6}$
$y=2 \sqrt{1-x}$
$y=\sqrt{x+3}-5$
$f(x)=4 \sqrt{x+9}-8$
$y=- \frac{3}{2} \sqrt{x-3}+6$
$y=-3 \sqrt{5-x}+7$
$f(x)=2 \sqrt{3-x}-9$

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