Graficar Funciones de Raíces Cúbicas

En esta sección, aprenderás a graficar funciones de raíces cubicas con la ayuda y sin la ayuda de la calculadora.

Al día siguiente la señora Garcia les da como tarea graficar la función de una raíz cubica $y = -\sqrt[3]{(x + 1)}$ . Al otro día, les pregunta en qué cuadrante se encuentran sus gráficos.

Alendro dijo que por los signos negativos, todos los valores de y son negativos. Por lo tanto, su gráfico esta solo en el tercer y cuarto cuadrante.

Dako dijo que su grafica también estaba en el tercer y cuarto cuadrante, pero que también en el segundo cuadrante.

Marisha dijo que ambos estaban equivocados y que su gráfico de la función está en los cuatro cuadrantes

¿Quién está en lo correcto?

Orientación

Una función de raíz cubica es diferente de una de raíz cuadrada. Sus formas generales se ven similares, $y=a \sqrt[3]{x-h}+k$ y su gráfico guía es $y= \sqrt[3]{x}$ . Sin embargo, podemos tomar la raíz cubica de un número negativo; por lo tanto, estará definida para todos los valores de $x$ . Graficando la grafica guía, tenemos:

x	y
-27	-3
-8	-2
-1	-1
0	0
1	1
8	2
27	3

Para $y= \sqrt[3]{x}$ , la salida es la misma que la entrada de $y=x^3$ . El dominio y el rango de $y= \sqrt[3]{x}$ son todos los números reales. Nota que no hay un “punto inicial” como en las funciones de raíces cuadradas, la $(h, k)$ ahora se refiere al punto donde la función se dobla, conocido como punto de inflexión (véase la sección Analizando el Gráfico de la Función de un Polinomio ).

Ejemplo A

Describe como obtener el gráfico de $y= \sqrt[3]{x}+5$ a partir de $y= \sqrt[3]{x}$ .

Solución: De la sección anterior, sabemos que el +5 indica un cambio de 5 unidades hacia arriba. Por lo tanto, este gráfico lucirá exactamente igual al gráfico guía, desplazada cinco unidades hacia arriba.

Ejemplo B

Grafica $f(x)=- \sqrt[3]{x+2}-3$ . Encuentra el dominio y el rango.

Solución: Del ejemplo anterior, conocemos el gráfico guía, que esta función se desplazará dos unidades hacia la izquierda y tras unidades hacia abajo. El signo negativo dará como resultado una reflexión.

Método Alternativo: Si quieres usar una tabla (como en el concepto anterior), también funcionará. Aquí hay una tabla, luego traza los puntos. $(h, k)$ deberían ser siempre el punto medio en la tabla.

x	y
6	-5
-1	-4
-2	-3
-3	-2
-10	-1

Ejemplo C

Grafica $f(x)= \frac{1}{2} \sqrt[3]{x-4}$ .

Solución: El -4 nos dice que, del gráfico guía, la función se desplazará cuatro unidades hacia la derecha. El $\frac{1}{2}$ nos dice cuán rápido la función crecerá. Debido a que es menor que uno, crecerá más lento el gráfico guía.

Usando la calculadora gráfica: Si quieres graficar la función usando la TI-83 o 84, presiona $Y=$ y borra cualquier otra función. Luego, presiona $(1 \div 2)$ , MATH y baja a 4 : $\sqrt[3]{\;\;}$ y presiona ENTER . Luego, escribe el resto de la función $Y= \left(\frac{1}{2}\right) \sqrt[3]{\;\;}(X-4)$ . Presiona GRAPH y ajusta la pantalla.

Nota Importante: El dominio y el rango de todas las funciones de raíces cúbicas son todos los números reales.

Revisión del Problema Introductorio Si graficas la función $y = -\sqrt[3]{(x + 1)}$ , versa que el dominio es todos los números reales, lo que hace que todos los cuadrantes sean posibles. Sin embargo, para todos los valores positives de x , y es negativo por el signo negativo en frente de la raíz cubica. Eso excluye el primer cuadrante. Por lo tanto, Dako está en lo correcto.

Práctica Guiada

1. Evalúa $y= \sqrt[3]{x+4}-11$ cuando $x=-12$ .

2. Describe como obtener el gráfico de $y= \sqrt[3]{x+4}-11$ a partir de $y= \sqrt[3]{x}$ .

Grafica las siguientes funciones. Comprueba tus gráficos con la calculadora gráfica.

3. $y= \sqrt[3]{x-2}-4$

4. $f(x)=-3 \sqrt{x}-1$

Respuestas

1. Reemplaza $x=-12$ y encuentra la incógnita de $y$ .

$y= \sqrt[3]{-12+4}-11= \sqrt[3]{-8}+4=-2+4=2$

2. Partiendo con $y= \sqrt[3]{x}$ , obtendrías $y= \sqrt[3]{x+4}-11$ desplazando la función cuatro unidades hacia la izquierda y 11 unidades hacia abajo.

3. Esta función es un cambio horizontal de dos unidades hacia la derecha y cuatro hacia abajo.

4. Esta función es una reflexión de $y= \sqrt[3]{x}$ y tres veces más larga. Por último, se desplazó una unidad hacia abajo.

Vocabulario

Ecuación General de la Función de Raíces Cúbicas: $f(x)=a \sqrt[3]{x-h}+k$ , donde $h$ es el cambio horizontal y $k$ es el cambio vertical.

Práctica

Evalúa $f(x)=\sqrt[3]{2x-1}$ para los siguientes valores de x .

$f(14)$
$f(-62)$
$f(20)$

Grafica las siguientes funciones de raíces cúbicas. Usa tu calculadora gráfica para comprobar tus respuestas.

$y=\sqrt[3]{x}+4$
$y=\sqrt[3]{x-3}$
$f(x)=\sqrt[3]{x+2}-1$
$g(x)=- \sqrt[3]{x}-6$
$f(x)=2 \sqrt[3]{x+1}$
$h(x)=-3 \sqrt[3]{x}+5$
$y=\frac{1}{2} \sqrt[3]{1-x}$
$y=2 \sqrt[3]{x+4}-3$
$y=- \frac{1}{3} \sqrt[3]{x-5}+2$
$g(x)=\sqrt[3]{6-x}+7$
$f(x)=-5 \sqrt[3]{x-1}+3$
$y=4 \sqrt[3]{7-x}-8$

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