Extraer la Ecuación de un Gráfico

En esta sección, revisaremos un gráfico de la función de una raíz cuadrada o cúbica y aprenderás a determinar la ecuación.

El gráfico de una función de raíz cubica empieza en el punto (2, 2). Pasa por el punto (10, -2). ¿Cuál es la ecuación de la función?

Orientación

Este concepto es lo opuesto a los dos conceptos anteriores. En vez de graficar a partir de una ecuación, encontraremos la ecuación a partir de un gráfico.

Ejemplo A

Determina la ecuación del siguiente gráfico.

Solución: De los dos conceptos anteriores, sabemos que esta es una función de una raíz cuadrada, por lo que la forma general es $y=a \sqrt{x-h}+k$ . El punto inicial es $(-6, 1)$ . Reemplazándolo por $h$ y $k$ , tenemos $y=a \sqrt{x+6}+1$ . Ahora, encuentra $a$ , usando el punto dado, $(-2, 5)$ . Sustituyamoslo por $x$ y $y$ y encuentra la incógnita de $a$ .

$5&=a \sqrt{-2+6}+1 \\\4&=a \sqrt{4} \\\4&=2a \\\2&=a$

La ecuación es $y=2 \sqrt{x+6}+1$ .

Ejemplo B

Encuentra la ecuación de la función de una raíz cubica donde $h=-1$ y $k=-4$ y pasa por $(-28, -3)$ .

Solución: Primero, reemplaza lo que sabemos de la ecuación general; $y= \sqrt[3]{x-h}+k \Rightarrow y=a \sqrt[3]{x+1}-4$ . Ahora, sustituye $x=-28$ y $y=-3$ y encuentra la incognita de $a$ .

$-3&=a \sqrt[3]{-28+1}-4 \\\1&=-3a \\\- \frac{1}{3}&=a$

La ecuación de la función es $y=- \frac{1}{3} \sqrt[3]{x+1}-4$ .

Ejemplo C

Encuentra la ecuación de la siguiente función.

Solución: Parece que $(0, -4)$ es $(h, k)$ . Reemplázalo por $h$ y $k$ y luego usa el Segundo punto para encontrar $a$ .

$-6&=a \sqrt[3]{1-0}-4 \\\-2&=a \sqrt[3]{1} \\\-2&=a$

La ecuación de la función es $y=-2 \sqrt[3]{x}-4$ .

Cuando buscamos la ecuación de una función de raíz cúbica, puedes asumir que uno de los puntos dados es $(h, k)$ . Cualquier punto que este en la zona donde se “dobla” es $(h, k)$ para los efectos de este texto.

Revisión del Problema Introductorio

Primero, reemplaza lo que sabemos en la ecuación general; $y= \sqrt[3]{x-h}+k \Rightarrow y=a \sqrt[3]{x - 2} + 2$ . Ahora, sustituye $x=10$ y $y=-2$ encuentra la incógnita de $a$ .

$-2&=a \sqrt[3]{10-2}+2 \\\-2&=a\sqrt[3]{8}+2\\\-2&=2a +2\\\-4&=2a\\\a = -2$

La ecuación de la función $y=-2 \sqrt[3]{x-2}+2$ .

Práctica Guiada

Encuentra la ecuación de las siguientes funciones.

3. Encuentra la ecuación de la función de una raíz cuadrada con un punto inicial de $(-5, -3)$ y pasa por $(4, -6)$ .

Respuestas

1. Sustituye lo que sabes en la ecuación general para encontrar $a$ . Del ejemplo C, puedes asumir que $(5, 8)$ es $(h, k)$ y $(-3, 7)$ es $(x, y)$ .

$y&=a \sqrt[3]{x-5}+8 \\\7&=a \sqrt[3]{-3-5}+8 \\\-1&=-2a \\\\frac{1}{2}&=a$

La ecuación de la función es $y= \frac{1}{2} \sqrt[3]{x-5}+8$ .

2. Sustituye lo que sabes en la ecuación general para encontrar $a$ . Del gráfico, el punto inicial, o $(h, k)$ es $(4, -11)$ y $(13, 1)$ son un punto en el gráfico.

$y&=a \sqrt{x-4}-11 \\\1&=a \sqrt{13-4}-11 \\\12&=3a \\\4&=a$

La ecuación de la función es $y=4 \sqrt{x-4}-11$ .

3. Sustituye lo que sabes en la ecuación general para encontrar $a$ . Del gráfico, el punto inicial, o $(h, k)$ es $(-5, -3)$ y $(4, -6)$ son un punto en el gráfico.

$y&=a \sqrt{x+5}-3 \\\-6&=a \sqrt{4+5}-3 \\\-3&=3a \\\-1&=a$

La ecuación de la función es $y=- \sqrt{x+5}-3$ .

Práctica

Escribe la ecuación de cada función graficada a continuación.

Escribe la ecuación de una función de raíz cuadrada con un punto inicial $(-6, -3)$ y pasa por $(10, -15)$ .
Escribe la ecuación de una función de raíz cúbica con $(h, k) = (2, 7)$ y pasa por $(10, 11)$ .
Escribe la ecuación de una función de raíz cuadrada con un punto inicial $(-1, 6)$ y pasa por $(3, 16)$ .
Escribe la ecuación de una función de raíz cúbica con $(h, k)=(-1, 6)$ y pasa por $(7, 16)$ .
Escribe la ecuación de una función de raíz cúbica con $(h, k)=(7, 16)$ y pasa por $(-1, 6)$ .
¿De qué manera difieren las ecuaciones anteriores? ¿De qué manera son iguales?

Prev Next