Resolvier Ecuaciones con Radicales Simples

En esta sección, aprenderás a resolver ecuaciones con radicales básicas.

Los catetos de un triangulo rectángulo miden 3 y $2\sqrt {x}$ . La hipotenusa mide 5. ¿Cuál es el largo del cateto con el valor desconocido?

Orientación

Resolver ecuaciones con radicales es muy similar a resolver otros tipos de ecuaciones. El objetivo es obtener $x$ por sí mismo. Sin embargo, ahora tenemos radicales dentro de la ecuación. Recuerda que lo opuesto de una raíz cuadrada es elevarla al cuadrado.

Ejemplo A

¿Es $x = 5$ la solución para $\sqrt{2x+15}=8$ ?

Solución: Reemplaza 5 por $x$ para ver si la ecuación se mantienen cierta. Si es así, entonces 5 es la solución.

$\sqrt{2 \left(5\right)+15}&=8 \\\\sqrt{10+15}&=9 \\\\sqrt{25} &\neq 8$

Sabemos que $\sqrt{25}=5$ , por lo que $x = 5$ no es una solución.

Ejemplo B

Resuelve $\sqrt{2x-5}+7=16$ .

Solución: Para encontrar $x$ , tenemos que aislar el radical. Resta 7 a ambos lados.

$\sqrt{2x-5}+7&=16 \\\\sqrt{2x-5}&=9$

Ahora, podemos elevar ambos lados al cuadrado para eliminar el radical. Sólo eleva cuando el radical este solo en un lado de los signos igual.

$\sqrt{2x-5}^2&=9^2 \\\2x-5&=81 \\\2x&=86 \\\x&=43$

Comprueba: $\sqrt{2 \left(43\right)-5}+7=\sqrt{86-5}+7=\sqrt{81}+7=9+7=16$

SIEMPRE comprueba tus respuestas cuando resuelvas ecuaciones con radicales. A veces, resolverás una ecuación, obtendrás una solución y luego la reemplazarás y no funcionará. Este tipo de soluciones se conocen como soluciones extrañas y no se consideran soluciones a la ecuación.

Ejemplo C

Resuelve $3\sqrt[3]{x-8}-2=-14$ .

Solución: Nuevamente, primero aísla el radical. Suma 2 a ambos lados y divide por 3.

$3\sqrt[3]{x-8}-2&=-14\\\3\sqrt[3]{x-8}&=-12\\\\sqrt[3]{x-8}&=-4$

Ahora, eleva al cubo en ambos lados para eliminar las raíces.

$\sqrt[3]{x-8}^3&=(-4)^3\\\x-8&=-64\\\x&=-56$

Comprueba: $3\sqrt[3]{-56-8}-2=3 \sqrt[3]{-64}-2=3 \cdot -4-2=-12-2=-14$

Revisión del Problema Introductorio Usa el Teorema de Pitágoras y encuentra la incógnita de x luego sustituye ese valor para resolver el valor desconocido del cateto.

$3^2 +(2\sqrt {x})^2) = 5^2\\\9 + 4x = 25\\\4x = 16\\\x = 4$

Ahora, sustituye este valor en el cateto de valor desconocido.

$2 \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$

Por lo tanto, el cateto tiene un largo de 4.

Práctica Guiada

Resuelve las ecuaciones y comprueba tus respuestas.

1. $\sqrt{x+5}=6$

2. $5\sqrt{2x-1}+1=26$

3. $\sqrt[4]{3x+11}-2=3$

Respuestas

1. El radical ya está aislado. Eleva al cuadrado ambos lados y encuentra $x$ .

$\sqrt{x+5}^2&=6^2 \\\x+5&=36 \\\x&=31$

Comprueba: $\sqrt{31+5}=\sqrt{36}=6$

2. Aísla el radical restando 1 y luego dividiendo por 5.

$5\sqrt{2x-1}+1&=26 \\\5\sqrt{2x-1}&=25 \\\\sqrt{2x-1}&=5$

Eleva ambos lados y continúa para encontrar $x$ .

$\sqrt{2x-1}^2&=5^2 \\\2x-1&=25 \\\2x&=26 \\\x&=13$

Comprueba: $5\sqrt{2 \left(13\right)-1}+1=5\sqrt{26-1}=5\sqrt{25}+1=5 \cdot 5+1=25+1=26$

3. En este problema, tenemos una raíz cuarta. Esto significa que una vez que aislamos el radical, debemos elevar ambos lados a la cuarta potencia para eliminarlo.

$\sqrt[4]{3x+11}-2&=3\\\\sqrt[4]{3x-11}^4&=5^4\\\3x-11&=625\\\3x&=636\\\x&=212$

Comprueba: $\sqrt[4]{3 \left(212\right)+11}-2=\sqrt[4]{636-11}-2=\sqrt[4]{625}-2=5-2=3$

Vocabulario

Solución extraña: Una solución para $x$ , que al comprobarla, no es realmente una solución.

Práctica

Determina si los valores dados para x son soluciones a los radicales de las siguientes ecuaciones.

$\sqrt{x-3}=7; x = 32$
$\sqrt[3]{6+x}=3; x = 21$
$\sqrt[4]{2x+3}-11=-9; x = 6$