Resolver Ecuaciones con Variables en Ambos Lados

En esta sección, aprenderás a resolver ecuaciones con radicales más complicadas.

Los catetos un triangulo rectángulo miden 12 y $\sqrt {x + 1}$ . La hipotenusa mide $\sqrt{7x + 1}$ . ¿Cuál es el largo de los lados con valores desconocidos?

Orientación

En este concepto, continuaremos resolviendo ecuaciones con radicales. Aquí, trataremos variables y radicales en ambos lados de la ecuación.

Ejemplo A

Resuelve $\sqrt{4x+1}-x=-1$

Solución: Ahora tenemos una $x$ que no está bajo el radical. Aun así aislaremos el radical.

$\sqrt{4x+1}-x&=-1\\\\sqrt{4x-1}&=x-1$

Ahora, podemos elevar al cuadrado ambos lados. Ten cuidado cuando eleves $x-1$ , la respuesta no es $x^2-1$ .

$\sqrt{4x+1}^2&=(x-1)^2\\\4x+1&=x^2-2x+1$

Este problema no es cuadrático. Para resolver ecuaciones cuadráticas, tenemos que factorizar, cuando sea posible, o usar la Fórmula Cuadrática. Combina términos semejantes y establece un lado igual a cero.

$4x+1&=x^2-2x+1\\\0&=x^2-6x\\\0&=x(x-6)\\\x&=0 \ or \ 6$

Comprueba ambas soluciones: $\sqrt{4 \left(0\right)+1}-1=\sqrt{0+1}-1=1-1=0 \neq -1$ . 0 es una solución extraña.

$\sqrt{4 \left(6 \right)+1}-6=\sqrt{24+1}-6=5-6=-1$

Por lo tanto, 6 es la única solución.

Ejemplo B

Resuelve $\sqrt{8x-11}-\sqrt{3x+19}=0$ .

Solución: En este ejemplo, tendrás que aislar ambos radicales. Para hacer esto, resta el segundo radical de ambos lados, luego eleva al cuadrado ambos lados para eliminar la variable.

$\sqrt{8x-11}-\sqrt{3x+19}&=0 \\\\sqrt{8x-11}^2&=\sqrt{3x+19}^2 \\\8x-11&=3x+19 \\\5x&=30 \\\x&=6$

Comprueba: $\sqrt{8 \left(6 \right)-11}-\sqrt{3 \left(6 \right)+19}=\sqrt{48-11}-\sqrt{18+19}=\sqrt{37}-\sqrt{37}=0$

Ejemplo C

Resuelve $\sqrt[4]{4x+1}=x$

Solución: El radical está aislado. Para eliminarlo, tenemos que elevar ambos lados a la cuarta potencia.

$\sqrt[4]{2x^2-1}^4&=x^4 \\\2x^2-1&=x^4 \\\0&=x^4-2x^2+1 \\\0&=(x^2-1)(x^2-1)\\\0&=(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)\\\x&=1 \ or \ -1$

Comprueba: $\sqrt[4]{2(1)^2-1}=\sqrt[4]{2-1}=\sqrt[4]{1}=1$

$\sqrt[4]{2(-1)^2-1}=\sqrt[4]{2-1}=\sqrt[4]{1}=1$

Revisión del Problema Introductorio Usa el Teorema de Pitágoras y encuentra la incógnita de x luego sustituye ese valor para encontrar los valores desconocidos de los lados.

$12^2 +(\sqrt {x + 1})^2) = (\sqrt {7x + 1})^2 \\\144 + x + 1 = 7x + 1\\\144 = 6x\\\x = 24$

Ahora sustituye este valor en los lados con los valores desconocidos.

$\sqrt{x + 1} = \sqrt {24 + 1} = 5$ Y

$\sqrt{7x + 1} = \sqrt {[7(24)] + 1} = \sqrt {169} = 13$

Por lo tanto, el cateto con el valor desconocido mide 5 y la hipotenusa mide 13.

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Comprueba si hay soluciones extrañas.

1. $\sqrt[3]{4x^3-24}=x$

2. $\sqrt{5x-3}=\sqrt{3x+19}$

3. $\sqrt{6x-5}-x=-10$

Respuestas

1. El radical está aislado. Eleva el cubo ambos lados para eliminar la raíz cúbica.

$\sqrt[3]{4x^3-24}^3&=x^3\\\4x^3-24&=x^3\\\-24&=-3x^3\\\8&=x^3\\\2&=x$

Comprueba: $\sqrt[3]{4 \left(2 \right)^3-24}=\sqrt[3]{32-24}=\sqrt[3]{8}=2$

2. Eleva al cuadrado ambos lados para encontrar $x$ .

$\sqrt{5x-3}^2&=\sqrt{3x+19}^2\\\5x-3&=3x+19\\\2x&=22\\\x&=11$

Comprueba: $\sqrt{5 \left(11 \right)-3}&=\sqrt{3 \left(11 \right)+19} \\\\sqrt{55-3}&=\sqrt{33+19} \quad \\\\sqrt{52}&=\sqrt{52}$

3. Suma $x$ a ambos lados y eleva al cuadrado para eliminar el radical.

$\sqrt{6x-5}^2&=(x-10)^2\\\6x-5&=x^2-20x+100\\\0&=x^2-26x+105\\\0&=(x-21)(x-5)\\\x&=21 \ or \ 5$

Comprueba ambas soluciones: $x&= 21: \sqrt{6 \left(21 \right)-5}-21=\sqrt{126-5}-21=\sqrt{121}-21=11-21=-10 \\\x&= 5: \sqrt{6 \left(5 \right)-5}-21=\sqrt{30-5}-21=\sqrt{25}-21=5-21 \neq -10$

5 es una solución extraña.

Práctica

Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Asegúrate de comprobar si hay soluciones extrañas.

$\sqrt{x-3}=x-5$
$\sqrt{x+3}+15=x-12$
$\sqrt[4]{3x^2+54}=x$
$\sqrt{x^2+60}=4\sqrt{x}$
$\sqrt{x^4+5x^3}=2\sqrt{2x+10}$
$x=\sqrt{5x-6}$
$\sqrt{3x+4}=x-2$
$\sqrt{x^3+8x}-\sqrt{9x^2-60}=0$
$x=\sqrt[3]{4x+4-x^2}$
$\sqrt[4]{x^3+3}=2\sqrt[4]{x+3}$
$x^2-\sqrt{42x^2+343}=0$
$x\sqrt{x^2-21}=2\sqrt{x^3-25x+25}$

Para las preguntas 13-15, tendrás que usar el método ilustrado en el siguiente ejemplo.

$\sqrt{x-15}&=\sqrt{x}-3\\\\left(\sqrt{x-15}\right)^2&=\left(\sqrt{x}-3 \right)^2\\\x-15&=x-6 \sqrt{x}+9\\\-24&=-6 \sqrt{x}\\\(4)^2&=\left(\sqrt{x}\right)^2\\\16&=x$

Eleva al cuadrado ambos lados
Combina términos semejantes para aislar el radical restante
Eleva nuevamente al cuadrado ambos lados para resolver

Comprueba: ¡No te olvides de comprobar si hay soluciones extrañas!

$\sqrt{16-15}&=\sqrt{16}-3 \\\\sqrt{1}&=4-3 \\\1&=1$

$\sqrt{x+11}-2=\sqrt{x-21}$
$\sqrt{x-6}=\sqrt{7x}-22$
$2+\sqrt{x+5}=\sqrt{4x-7}$

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