Resolvier Ecuaciones con Exponente Racional

En esta sección, aprenderás a resolver ecuaciones donde la variable tiene un exponente racional.

El período (en segundos) de un péndulo que mide L (en metros) está dado por la fórmula $P = 2\pi{(\frac{L}{9.8})}^{\frac{1}{2}}$ . Si el período de un péndulo es $10\pi$ ¿es 156.8 el largo del péndulo?

Orientación

Este concepto es muy similar a los dos anteriores. Cuando resuelvas una ecuación con exponente radical, aísla la variable; luego, elimina el exponente, tendrás que elevar todo a la potencia recíproca.

Ejemplo A

Determina si x = 9 es una solución para $2x^{\frac{3}{2}}-19=35$ .

Solución: Sustituye x y comprueba si la ecuación se mantiene.

$2(9)^{\frac{3}{2}}-19&=35 \\\2 \cdot 27 -19 &= 35 \\\54 - 19 &= 35$

9 es una solución para esta ecuación.

Ejemplo B

Resuelve $3x^{\frac{5}{2}}=96$ .

Solución: Primero, divide ambos lados por 3 para aislar $x$ .

$3x^{\frac{5}{2}}&=96\\\x^{\frac{5}{2}}&=32$

$x$ está elevada a la quinta y media potencia. Para cancelar este exponente, tenemos que elevar todo a la dos quintos potencia.

$\left(x^{\frac{5}{2}}\right)^{\frac{2}{5}}&=32^{\frac{2}{5}}\\\x&=32^{\frac{2}{5}}\\\x&=\sqrt[5]{32}^2=2^2=4$

Comprueba: $3(4)^{\frac{5}{2}}=3 \cdot 2^5=3 \cdot 32=96$

Ejemplo C

Resuelve $-2(x-5)^{\frac{3}{4}}+48=-202$ .

Solución: Aísla $(x-5)^{\frac{3}{4}}$ restando 48 y dividiendo por -2.

$-2(x-5)^{\frac{3}{4}}+48&=-202\\\-2(x-5)^{\frac{3}{4}}&=-250\\\(x-5)^{\frac{3}{4}}&=-125$

Para deshacer la tres cuartos potencia, eleva todo a los cuatro tercios potencia.

$\left[ \left(x-5 \right)^{\frac{3}{4}}\right]^{\frac{4}{3}}&=\left(-125 \right)^{\frac{4}{3}}\\\x-5&=625\\\x&=630$

Comprueba: $-2(630-5)^{\frac{3}{4}}+48=-2 \cdot 625^{\frac{3}{4}}+48=-2 \cdot 125+48=-250+48=-202$

Revisión del Problema Introductorio Tenemos que reemplazar 156.8 en la ecuación $P = 2\pi{(\frac{L}{9.8})}^{\frac{1}{2}}$ para L y resolver. Si la respuesta es igual a $10\pi$ , entonces el largo dado es correcto.

$P = 2\pi{(\frac{L}{9.8})}^{\frac{1}{2}}\\\2\pi{(\frac{156.8}{9.8})}^{\frac{1}{2}}\\\2\pi (16)^{\frac{1}{2}}\\\2\pi (4) = 8 \pi$

$8\pi$ no es igual $10\pi$ , por lo que el largo no puede ser 156.8.

Práctica Guiada

Resuelve las siguientes ecuaciones con exponente racional y comprueba si hay soluciones extrañas.

1. $8(3x-1)^{\frac{2}{3}}=200$

2. $6x^{\frac{3}{2}}-141=1917$

Respuestas

1. Divide ambos lados por 8 y eleva todo a la tres medios potencia.

$8(3x-1)^{\frac{2}{3}}&=200\\\\left[ \left(3x-1 \right)^{\frac{2}{3}}\right]^{\frac{3}{2}}&=(25)^{\frac{3}{2}}\\\3x-1&=125\\\3x&=126\\\x&=42$

Comprueba: $8(3(42)-1)^{\frac{2}{3}}=8(126-1)^{\frac{2}{3}}=8(125)^{\frac{2}{3}}=8 \cdot 25=200$

2. HAquí, solo la $x$ está elevada a la tres medios potencia. Resta 141 de ambos lados y divide por 6; luego elimina el exponente elevando ambos lados a la dos tercios potencia.

$6x^{\frac{3}{2}}-141&=1917 \\\6x^{\frac{3}{2}}&=2058 \\\x^{\frac{3}{2}}&=343 \\\x&=343^{\frac{2}{3}}=7^2=49$

Comprueba: $6(49)^{\frac{3}{2}}-141=6 \cdot 343-141=2058-141=1917$

Práctica

Determina si los siguientes valores de x son soluciones para la ecuación $3x^{\frac{3}{5}}=-24$

$x=32$
$x=-32$
$x=8$

Resuelve las siguientes ecuaciones. Aproxima cualquier respuesta decimal a 2 lugares del decimal.

$2x^{\frac{3}{2}}=54$
$3x^{\frac{1}{3}}+5=17$
$(7x-3)^{\frac{2}{5}}=4$
$(4x+5)^{\frac{1}{2}}=x-4$
$x^{\frac{5}{2}}=16x^{\frac{1}{2}}$
$(5x+7)^{\frac{3}{5}}=8$
$5x^{\frac{2}{3}}=45$
$(7x-8)^{\frac{2}{3}}=4(x-5)^{\frac{2}{3}}$
$7x^{\frac{3}{7}}+9=65$
$4997=5x^{\frac{3}{2}}-3$
$2x^{\frac{3}{4}}=686$
$x^3=(4x-3)^{\frac{3}{2}}$

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