Operaciones con Funciones

En esta sección, aprenderás a sumar, restar, multiplicar y a componer dos o más funciones.

El área de un rectángulo es $2x^2$ . El largo del rectángulo es $\sqrt{x + 3}$ . ¿Cuál es el ancho del rectángulo? ¿Qué restricciones, si es que hay, tiene este valor?

Orientación

Como viste en la Lista de Revisiones, ya hemos sumado, restado y multiplicado funciones. Para sumar y restar, combinas los términos semejantes (vease el concepto de Sumando y Restando Polinomios ). Cuando multiplicamos, usamos el, método PIES o el método de “caja” (vease el concepto de Multiplicando Polinomios ). Cuando sumas, restas o multiplicas funciones, es exactamente lo mismo que harías con polinomios, excepto por la notación. Nota que, en la Lista de Revisiones, no hemos escrito la función completa, solo $f(x)-g(x)$ , por ejemplo. Continuemos:

$f(x)-g(x)&=(x+5)-(x^2-4x+8)\\\&=x+5-x^2+4x-8 \\\&=-x^2+5x-3$

Distribuye el signo negativo en la segunda función y combina términos semejantes. ¡Ten cuidado! $f(x)-g(x) \ne g(x)-f(x)$ . Además, esta nueva función, $f(x)-g(x)$ tiene un dominio y un rango diferente $f(x)$ o $g(x)$ .

Ejemplo A

Si $f(x)= \sqrt{x-8}$ y $g(x)= \frac{1}{2} x^2$ , encuentra $fg$ y $\frac{f}{g}$ . Determina cualquier restricción para $\frac{f}{g}$ .

Solución: Primero, aunque la $x$ no está escrita con la $f(x)$ y $g(x)$ , se puede decir que $f$ y $g$ representan $f(x)$ y $g(x)$ .

$fg= \sqrt{x-8} \cdot \frac{1}{2} x^2= \frac{1}{2} x^2 \sqrt{x-8}$

Para dividir las dos funciones, pondremos la $f$ sobre $g$ en una fracción.

$\frac{f}{g}= \frac{\sqrt{x-8}}{\frac{1}{2} x^2}= \frac{2 \sqrt{x-8}}{x^2}$

Para encontrar una restricción (es) en esta función, tenemos que determinar qué valor(es) de $x$ hace que el denominador sea cero porque no podemos dividir por cero. En este caso $x \ne 0$ . Además, el dominio de $f(x)$ es solo $x \ge 8$ , porque no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo. La porción del dominio donde $f(x)$ no está definida es también considerada parte de la restricción. Siempre que haya una restricción en una función, ponla junto a la función, separada por un punto y coma. No escribiremos $x \ne 0$ por separado porque esta no está incluida en $x \cancel{<} 8$ .

$\frac{f}{g}=\frac{2 \sqrt{x-8}}{x^2}; x \cancel{<} 8$

Ahora, veremos una nueva forma de manipular funciones; componerlas. Cuando compones dos funciones, ponemos una función en la otra, donde haya una $x$ . La notación puede lucir así $f(g(x))$ o $f \circ g$ , y se lee “ $f$ de $g$ de $x$ ”. Veamos este ejemplo.

Ejemplo B

Usando $f(x)$ y $g(x)$ del ejemplo A encuentra $f(g(x))$ y $g(f(x))$ y cualquier restricción en los dominios.

Solución: Para $f(g(x))$ , vamos a poner $g(x)$ en $f(x)$ donde sea que haya un valor $x$ -.

$f(g(x))= \sqrt{g \left(x \right)-8}$

Ahora sustituye en la función real por $g(x)$ .

$f(g(x))&= \sqrt{g \left(x \right)-8} \\\&= \sqrt{\frac{1}{2}x^2-8}$

Para encontrar el dominio de $f(g(x))$ , determinemos donde está definida $x$ El radical es igual a cero cuando $x=4$ o $x=-4$ . Entre 4 y -4, la función no está definida porque la raíz cuadrada seria negativa; por lo tanto, el dominio es todos los números reales; $-4 \cancel{<} \ x \cancel{<} 4$ .

Ahora, para encontrar $g(f(x))$ , pondríamos $f(x)$ en $g(x)$ donde sea que haya un valor $x$ -.

$g(f(x))&= \frac{1}{2} \left[f(x) \right]^2 \\\&= \frac{1}{2} \Big [ \sqrt{x-8} \Big ]^2 \\\&= \frac{1}{2}(x-8) \\\&= \frac{1}{2}x-4$

Nota que $f(g(x)) \ne g(f(x))$ . Es posible que $f \circ g=g \circ f$ y es un caso especial que trataremos en el siguiente concepto. Para encontrar el dominio de $g(f(x))$ , determinaremos donde está definida $x$ . $g(f(x))$ es una recta, por lo que pensaríamos que el dominio es todos los números reales; sin embargo, mientras simplificamos la composición, la elevación y la raíz cuadrada se cancelan entre sí. Por lo tanto, aun existiría cualquier restricción en $f(x)$ o $g(x)$ El dominio sería todos los números reales donde $x \ge 8$ del dominio de $f(x)$ . Siempre que las operaciones se cancelen, las restricciones originales de la función interna existirán . Como en el caso de $f(g(x))$ , no hubo simplificación el dominio era único a esa función.

Ejemplo C

Si $f(x)=x^4-1$ y $g(x)=2 \sqrt[4]{x+1}$ , encuentra $g \circ f$ y las restricciones en el dominio.

Solución: Recuerda que $g \circ f$ es otra forma de escribir $g(f(x))$ . Reemplacemos $f$ en $g$ .

$g \circ f&=2 \sqrt[4]{f \left(x \right)+1} \\\&=2 \sqrt[4]{\left(x^4-1 \right)+1} \\\&=2 \sqrt[4]{x^4} \\\&=2 \left | x \right |$

La función final, $g \circ f \ne 2x$ porque $x$ está siendo elevada a la $4^{th}$ potencia, lo que siempre dará una respuesta positiva; por lo tanto, incluso cuando $x$ es negativa, la respuesta será positiva. Por ejemplo, si $x=-2$ , entonces $g \circ f=2 \sqrt[4]{\left(-2 \right)^4}=2 \cdot 2=4.$ . Una función de valor absoluto no tiene restricciones en el dominio. Esto siempre sucede cuando raíces y potencias se cancelan. El rango de esta función va a ser todos los números reales positivos porque el valor absoluto nunca es negativo.

Recuerda, el ejemplo anterior, sin embrago. Las restricciones, si es que hay, de la función interna, $f(x)$ , aún existe porque no hay restricciones en $f(x)$ , el dominio de $g \circ f$ quedan todos los números reales.

Revisión del Problema Introductorio Si establecemos g igual a $2x^2$ y f igual a $\sqrt{x + 3}$ , para encontrar el ancho, tenemos que encontrar $\frac{g}{f}$ .

$\frac{2x^2}{\sqrt{x + 3}}\\\\frac{2x^2}{\sqrt{x + 3}}\cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}\\\\frac{2x^2\sqrt{x + 3}}{x + 3}$

Por lo tanto, el ancho del rectángulo es $\frac{2x^2\sqrt{x + 3}}{x + 3}$ , y $x = -3$ es una restricción en la respuesta.

Práctica Guiada

$f(x)=5x^{-1}$ y $g(x)=4x+7$ . Encuentra:

1. $fg$

2. $g-f$

3. $\frac{f}{g}$

4. $g(f(x))$ y el dominio

5. $f \circ f$

Respuestas

1. $fg$ es el producto de $f(x)$ y $g(x)$ .

$fg&=5x^{-1}(4x+7) \\\&=20x^0+35x^{-1} \\\&=20+35x^{-1} \ or \ \frac{20x+35}{x}$

Ambas representaciones son correctas. Pregunta a tu profesor como quiere que dejes tus respuestas.

2. Resta $f(x)$ de $g(x)$ y simplifica, si es posible.

$g-f&=(4x+7)-5x^{-1} \\\&=4x+7-5x^{-1} \ or \ \frac{4x^2+7x-5}{x}$

3. Divide $f(x)$ por $g(x)$ . No te olvides de incluir las restricciones.

$\frac{f}{g}&= \frac{5x^{-1}}{4x+7} \\\&= \frac{5}{x(4x+7)}; \ x \ne 0, - \frac{7}{4}$

Recuerda las propiedades de los exponentes. Siempre que haya un exponente negativo, este debe ser movido al denominador. Establecimos cada factor en el denominador como igual a cero para encontrar restricciones.

4. $g(f(x))$ es una composición de funciones. Reemplacemos $f(x)$ en $g(x)$ donde sea que haya una $x$ .

$g(f(x))&=4f(x)+7 \\\&=4(5x^{-1})+7 \\\&=20x^{-1}+7 \ or \ \frac{20+7x}{x}$

El dominio de $f(x)$ es todos los números reales excepto $x \ne 0$ , porque no podemos dividir por cero; por lo tanto, el dominio de $g(f(x))$ es todos los números reales excepto $x \ne 0$ .

5. $f \circ f$ es una función compuesta en sí misma. Reemplazaremos $f(x)$ en $f(x)$ donde sea que haya una $x$ .

$f(f(x))&=5(f(x))^{-1} \\\&=5(5x^{-1})^{-1} \\\&=5 \cdot 5^{-1}x^1 \\\&=x$

Vocabulario

Restricción: Un valor del dominio donde $x$ no puede ser definida.

Función Compuesta: Una función, $h(x)$ , donde $h(x)=f(g(x))$ , también escrita $h=f \circ g$ . Cuando $f(x)$ y $g(x)$ están compuestas, reemplazamos $g(x)$ en $f(x)$ donde sea que haya un valor $x$ -, dando como resultado una nueva función, $h(x)$ . El dominio de $h(x)$ es el conjunto de todos los valores $x$ - que están en el dominio de $f(x)$ y $g(x)$ .

Práctica

Para los problemas 1-8, usa las siguientes funciones para formar las composiciones indicadas e indicar claramente cualquier restricción al dominio de la función compuesta.

$f(x)=x^2+5 \qquad g(x)=3 \sqrt{x-5} \qquad h(x)=5x+1$

$f+h$
$h-g$
$\frac{f}{g}$
$fh$
$f \circ g$
$h(f(x))$
$g \circ f$
$f \circ g \circ h$

Para los problemas 9-16, usa las siguientes funciones para formar las composiciones indicadas e indicar claramente cualquier restricción al dominio de la función compuesta.

$p(x)= \frac{5}{x} \qquad q(x)=5 \sqrt{x} \qquad r(x)= \frac{\sqrt{x}}{5} \qquad s(x)= \frac{1}{5}x^2$

$ps$
$\frac{q}{r}$
$q+r$
$p(q(x))$
$s(q(x))$
$q \circ s$
$q \circ p \circ s$
$p \circ r$

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