Funciones Inversas

En esta sección, aprenderás a encontrar la inversa de una relación y una función.

La distancia máxima de un planeta del sol (en unidades astronómicas) está dada por la fórmula $d = p^{\frac {2}{3}}$ , donde p es el período (en años) de la órbita del planeta alrededor del sol ¿Cuál es la inversa de esta función?

Orientación

Por ahora, estas familiarizado con el término “inverso”. La multiplicación y la división son inversas de cada uno. Otros ejemplos son la suma y la resta y la elevación y raíz cuadrada. Vamos a extender esta idea a las funciones. Una relación inversa esquematiza los valores de salida y los valores de entrada para crear otra relación. En otras palabras, cambiamos los valores $x$ y $y$ . El dominio de la relación original se transforma en el rango de la relación inversa y el rango de la relación original se transforma en el dominio de la relación inversa.

Ejemplo A

Encuentra la inversa de $S=\left \{(6, -1), (-2, -5), (-3, 4), (0, 3), (2, 2)\right \}$ .

Solución: Aquí, encontraremos la inversa de esta relación organizando sobre la recta $y=x$ . Como se estableció en la definición, la relación inversa cambio el dominio y el rango de la función original. Por lo que, la inversa de esta relación, $S$ , es $S^{-1}$ (dicho “ $s$ inversa”) y intercambiará todos los valores $x$ e $y$ .

$S^{-1}=\left \{(-1, 6), (-5, -2), (4, -3), (3, 0), (2, 2)\right \}$

Si graficamos las dos relaciones en el plano $x-y$ tenemos:

Los puntos azules son todos los puntos en $S$ y los rojos son todos los puntos en $S^{-1}$ . Nota que los puntos en $S^{-1}$ son una reflexión de los puntos en $S$ sobre la recta, $y=x$ . Todos los inversos tienen esta propiedad.

Si dobláramos el gráfico en $y=x$ , cada punto inverso $S^{-1}$ debería coincidir con el punto original de $S$ . El punto $(2, 2)$ coincide en esta recta, por lo que no tiene reflexión. Cualquier valor en esta recta quedara igual.

Dominio de $S$ : $x \in \left \{6, -2, -3, 0, 2\right \}$

Rango de $S$ : $y \in \left \{-1, -5, 4, 3, 2\right \}$

Dominio de $S^\prime$ : $x \in \left \{-1, -5, 4, 3, 2\right \}$

Rango de $S^\prime$ : $y \in \left \{6, -2, -3, 0, 2\right \}$

Al mirar los dominios y los rangos de $S$ y $S^{-1}$ , vemos que ambos son funciones (ningún valor $x$ -se repite). Cuando la inversa de una función es también una función, decimos que la función original es una función uno a uno . Cada valor organiza un valor único sobre otro valor único.

Ejemplo B

Encuentra la inversa de $f(x)= \frac{2}{3}x-1$ .

Solución: Esta es una función lineal. Resolvámosla haciendo un poco de investigación. Primero, dibuja la recta junto con $y=x$ en el mismo conjunto de ejes.

Nota que los puntos en la función (línea azul). Organiza estos puntos sobre $y=x$ cambiando sus valores $x$ y $y$ . Podrías, además, doblar el gráfico en $y=x$ y trazar la reflexión.

La línea roja en el gráfico a la derecha es la inversa de $f(x)= \frac{2}{3}x-1$ . Usando triángulos de pendiente entre (-1, 0) y (1, 3), vemos que la pendiente es $\frac{3}{2}$ . Usa (-1, 0) para encontrar la intersección $y$ -.

$f^{-1}(x)&= \frac{3}{2}x+b \\\0&= \frac{3}{2}(-1)+b \\\\frac{3}{2}&=b$

La ecuación de la inversa, se lee “ $f$ inversa”, es $f^{-1}(x)= \frac{3}{2}x+ \frac{3}{2}$ .

Puedes haber notado que las pendientes de $f$ y $f^{-1}$ son reciprocas de cada una. Esto siempre sucederá con funciones lineales. Además, la intersección $x$ - de $f$ se transforma en la intersección $y$ - de $f^{-1}$ y viceversa.

Método Alternativo: Hay también un enfoque algebraica para encontrar la inversa de cualquier función. Repitamos este ejemplo usando algebra.

1. Cambia $f(x)$ a $y$ .

$y= \frac{2}{3}x-1$

2. Cambia la $x$ y la $y$ . Cambia $y$ a $y^{-1}$ por la inversa.

$x= \frac{2}{3}y^{-1}-1$

3. Encuentra la incógnita de $y^\prime$ .

$x&= \frac{2}{3}y^{-1}-1 \\\\frac{3}{2}(x+1)&= \frac{3}{2} \cdot \left(\frac{2}{3}y^{-1} \right) \\\\frac{3}{2}x+ \frac{3}{2}&=y^{-1}$

El método algebraico funcionará para cualquier tipo de función.

Ejemplo C

Determina si $g(x)=\sqrt{x-2}$ y $f(x)=x^2+2$ son inversos de cada uno.

Solución: hay dos formas diferentes para determinar si dos funciones son inversas de cada una. La primera, es encontrar $f^{-1}$ y $g^{-1}$ y ver si $f^{-1}=g$ y $g^{-1}= f$ .

$x&= \sqrt{y^{-1}-2}&& && \qquad \quad \ \ x=(y^{-1})^2+2 \\\x^2&=y^{-1}-2 && and && \qquad x-2=(y^{-1})^2 \\\x^2+2&=y^{-1}=g^{-1}(x)&& && \pm \sqrt{x-2}=y^{-1}=f^{-1}(x)$

Nota el signo $\pm$ en frente de la raíz cuadrada para $f^{-1}$ . Eso significa que $g^{-1}$ es $\sqrt{x-2}$ y $- \sqrt{x-2}$ .

Por lo tanto, $f^{-1}$ no es realmente una función porque no cumple con la prueba de recta vertical. Sin embargo, si tomaras cada parte por separado, individualmente, son funciones. Además, puedes considerar la reflexión de $f(x)$ sobre $y=x$ . Esta sería una parábola en su lugar, lo que no sería una función.

La inversa de $g$ sería entonces solo la mitad de la parábola, como a continuación. A pesar de la restricciones en los dominios, $f$ y $g$ son inversos de cada uno.

Método Alternativo: La segunda, y más fácil, forma para determinar si dos funciones son inversas de cada una es usar composición. Si $f \circ g=g \circ f=x$ , entonces $f$ y $g$ son inversas de cada una. Piensa, si todo se cancela y todo lo que queda es $x$ , cada operación dentro de las funciones serían opuestas, haciendo las funciones “opuestas” o inversas de cada una.

$f \circ g&= \sqrt{\left(x^2+2\right)-2} && && g \circ f= \sqrt{x-2}^2+2 \\\&= \sqrt{x^2} && and && \qquad=x-2+2 \\\&=x && && \qquad=x$

Porque $f \circ g=g \circ f=x$ , $f$ y $g$ son inversas de cada una. Ambas $f \circ g=x$ y $g \circ f=x$ en orden para $f$ y $g$ son inversas de cada una.

Revisión del Problema Introductorio En la función $d = p^{\frac {2}{3}}$ , d es equivalente de y y p es el equivalente de x . Así que rescribe la ecuación y sigue le proceso paso a paso.

$y = x^{\frac {2}{3}}$ ,

Cambia la $x$ y $y$ . Cambia $y$ a $y^{-1}$ por la inversa.

$x = (y^{-1})^{\frac {2}{3}}$

3. Encuentra la incógnita de $y^\prime$ .

$x = (y^{-1})^{\frac {2}{3}}\\\x^\frac{3}{2} = (y^{-1})^{\frac {2}{3}\cdot \frac{3}{2}}\\\x^\frac{3}{2} = y^{-1}$

Ahora reemplaza y y x con d y p . La inversa d es $p^\frac{3}{2}$ .

Práctica Guiada

1. Encuentra la inversa de $g(x)=- \frac{3}{4}x+12$ algebraicamente.

2. Encuentra la inversa de $f(x)=2x^3+5$ algebraicamente. ¿Es la inversa una función?

3. Determina si $h(x)=4x^4-7$ y $j(x)= \frac{1}{4} \sqrt[4]{x-7}$ son inversas de cada una usando composición.

Respuestas

1. Usa los pasos dados en el método alternativo para el ejemplo B.

$y&=- \frac{3}{4}x+12 \\\x&=- \frac{3}{4}y^{-1}+12 \\\x-12&=- \frac{3}{4}y^{-1} \\\- \frac{4}{3}(x-12)&=y^{-1} \\\g^{-1}(x)&=- \frac{4}{3}x+16$

2. Nuevamente, usa los pasos del ejemplo B.

$y&=2x^3+5 \\\x&=2(y^{-1})^3+5 \\\x-5&=2(y^{-1})^3 \\\\frac{x-5}{2}&=(y^{-1})^3 \\\f^{-1}(x)&= \sqrt[3]{\frac{x-5}{2}}$

Si, $f^{-1}$ es una función. Grafica en tu calculadora gráfica si no estás seguro y comprueba si pasa la prueba de la recta vertical.

3. Primero, encuentra $h(j(x))$ .

$h(j(x))&=4 \left(\frac{1}{4} \sqrt[4]{x+7}\right)^4-7 \\\&=4 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^4 x+7-7 \\\&= \frac{1}{64}x$

Porque $h(j(x)) \ne x$ , sabemos que $h$ y $j$ no son inversas de cada una; por lo tanto, no hay un punto para encontrar $j(h(x))$ .

Vocabulario

Función/Relación Inversa: Cuando los valores de una relación o función son organizados para crear valores de entrada para una nueva relación (o función). Los valores de entrada de la función original se transformarían en los valores de salida para la nueva relación (o función).

Función Uno a uno: Cuando la inversa de una función es también una función.

Práctica

Escribe las inversas de las siguientes funciones. Establece si la inversa es o no una función.

$(2, 3), (-4, 8), (-5, 9), (1, 1)$
$(9, -6), (8, -5), (7, 3), (4, 3)$

Encuentra las inversas de las siguientes funciones algebraicamente. Nota cualquier restricción al dominio de las funciones inversas.

$f(x)=6x-9$
$f(x)= \frac{1}{4x+3}$
$f(x)= \sqrt{x+7}$
$f(x)=x^2+5$
$f(x)=x^3-11$
$f(x)= \sqrt[5]{x+16}$

Determina si $f$ y $g$ son inversas de cada una comprobando si encontrar $f \circ g=x$ o $g \circ f=x$ . No necesitas demostrar ambas.

$f(x)= \frac{2}{3}x-14$ y $g(x)= \frac{3}{2}x+21$
$f(x)= \frac{x+5}{8}$ y $g(x)=8x+5$
$f(x)= \sqrt[3]{3x-7}$ y $g(x)= \frac{x^3}{3}-7$
$f(x)= \frac{x}{x-9},x \ne 9$ y $g(x)= \frac{9x}{x-1}$

Encuentra las inversas de las siguientes funciones algebraicamente. Nota cualquier restricción al dominio de las funciones inversas. Estos problemas son un poco engañosos, ya que tendrás que factorizar la variable $y$ para resolver. Usa el ejemplo a continuación como guía.

$f(x)=\frac{3x+13}{2x-11}$

Ejemplo:

$x=\frac{3y+13}{2y-11}$ Primero, cambia $x$ y $y$
$2xy-11x=3y+13$ Multiplica ambos lados por $2y-11$ para eliminar la fracción
$2xy-3y=11x+13$ Ahora, reordena los términos para obtener ambos términos con la $y$ incluida en un lado y todo lo demás en el otro lado
$y(2x-3)=11x+13$ Factoriza la $y$
$y= \frac{11x+13}{2x-3}$ Por último, divide ambos lados por $2x-3$ para aislar la $y$ .

Así, la inversa de $f(x)= \frac{3x+13}{2x-11},x \ne \frac{11}{2}$ es $f^{-1}(x)= \frac{11x+13}{2x-3},x \ne \frac{3}{2}$ .

$f(x)= \frac{x+7}{x},x \ne 0$
$f(x)= \frac{x}{x-8},x \ne 8$

Problema de Pasos Múltiples

En muchos países, la temperatura se mide en grados Celsius. En los Estados Unidos usamos grados Fahrenheit. Para los turistas, es útil saber convertir de una unidad a la otra. El siguiente problema te ayudará a aprender esto usando la función inversa.
1. La temperatura en que el agua se congela nos dará un punto en la recta en que $x$ representa los grados Celsius e $y$ representa los grados Fahrenheit. El agua se congela a 0 grados Celsius y a 32 grados Fahrenheit por lo que el primer punto será (0, 32). La temperatura en la que el agua hierve nos da el segundo punto (100, 212), porque el agua hierve a 100 grados Celsius o 212 grados Fahrenheit. Usa esta información para demostrar que la ecuación para convertir de Celsius a Fahrenheit es $y= \frac{9}{5}x+32$ o $F= \frac{9}{5}C+32$ .
2. Encuentra la inversa de la ecuación anterior encontrando la incógnita de $C$ para derivar a la fórmula que nos permitirá convertir de Fahrenheit a Celsius.
3. Demuestra que tu inversa es correcta mostrando que la composición de dos funciones simplifica para $F$ o $C$ dependiendo de cual pongas en la otra.)