Crecimiento de la Función Exponencial

En esta sección, aprenderás a analizar el crecimiento exponencial y su forma grafica.

Una población de 10 ratones crece a una velocidad de 300% cada mes. ¿Cuántos ratones habrá luego de seis meses?

Orientación

Una función exponencial tiene la variable en el exponente de la expresión. Todas las funciones exponenciales tienen la siguiente forma: $f(x)=a \cdot b^{x-h}+k$ , donde $h$ y $k$ mueven la función en las dirección $x$ e $y$ respectivamente, similar a las otras funciones que hemos visto en este libro, $b$ es la base y $a$ varía la velocidad de crecimiento de la función. Primero, observemos el gráfico $y=2^x$ .

Ejemplo A

Grafica $y=2^x$ y encuentra el intercepto en $y$

Solución: Comencemos por hacer una tabla. Incluye algunos valores positivos y negativos para $x$ y cero.

$x$	$2^x$	$y$
3	$2^3$	8
2	$2^2$	4
1	$2^1$	2
0	$2^0$	1
-1	$2^{-1}$	$\frac{1}{2}$
-2	$2^{-2}$	$\frac{1}{4}$
-3	$2^{-3}$	$\frac{1}{8}$

Esta es la forma común de una función de crecimiento exponencial . La función crece "exponencialmente rápido". Es decir, en este caso, la función crece en potencias de 2. Para que una función exponencial sea una función de crecimiento, $a > 0$ y $b > 1$ y $h$ y $k$ deben ser cero $(y=ab^x)$ . En la tabla podemos apreciar que el intercepto en $y$ es (0, 1).

Noten como la función se acerca bastante al eje $x$ pero nunca lo toca o lo pasa. Incluso si $x=-50, \ y$ sería $2^{-50}=\frac{1}{2^{50}}$ , lo que no es cero pero se acerca bastante. De hecho, la función nunca llegará a cero, solo se reducirá. Por lo tanto, esta función se acerca a la recta $y=0$ , pero nunca la toca o la pasa. Este tipo de recta límite se llama asíntota. En este caso, con cada función exponencial, habrá una asíntota horizontal. Si $k=0$ , entonces la asíntota será $y=0$ .

Ejemplo B

Grafica $y=3^{x-2}+1$ . Encuentra el intercepto en $y$ la asíntota, el dominio y el rango.

Solución: Esto no se considera una función de crecimiento, ya que $h$ y $k$ no son cero. Para graficar esta función, sin usar calculadora, se debe comenzar graficando $y=3^x$ y luego desplazarla $h$ unidades en la dirección $x$ y $k$ unidades en la dirección $y$ .

Noten que el punto (0, 1) de $y=3^x$ se traslada dos unidades a la derecha y una hacia arriba, cambiando a (2, 2) en la función $y=3^{x-2}+1$ . Por lo tanto, la asíntota es $y=1$ . Para encontrar el intercepto en $y$ inserta $x=0$ .

$y=3^{0-2}+1=3^{-2}+1=1 \frac{1}{9} = 1. \overline{1}$

El dominio de todas las funciones exponenciales es presentado en números reales. El rango será todo aquello que sea mayor a la asíntota. En este ejemplo, el rango es $y > 1$ .

Ejemplo C

Grafica la función $y= -\frac{1}{2} \cdot 4^x$ . Determina si es una función de crecimiento exponencial.

Solución: En este ejemplo, revisaremos como usar la calculadora gráfica para graficar una función exponencial. Primero, despeja todo en Y=. Luego, ingresa la función como Y1= -(1/2)4^X y presiona GRAPH . Ajusta la pantalla como corresponda.

Esta no es una función de crecimiento exponencial, ya que no crece en una dirección positiva. Tomando en cuenta la definición de una función de crecimiento, $a>0$ , podemos notar que no se cumple.

Revisión del Problema Introductorio

Este es un ejemplo de crecimiento exponencial, por lo tanto podemos usar la forma exponencial $f(x)=a \cdot b^{x-h}+k$ . En este caso, a = 10, representa la población inicial; b = 300% or 3, la tasa de crecimiento; x-h = 6 el número de meses, y k = 0.

$P = 10 \cdot 3^6\\\= 10 \cdot 729 = 7290$

Por lo tanto, la población de ratones luego de seis meses será 7.290.

Práctica Guiada

Grafica las siguientes funciones exponenciales. Determina si son funciones de crecimiento. Luego, encuentra el intercepto en $y$ , la asíntota, el dominio y el rango. Ajusta la pantalla como corresponda.

1. $y=3^{x-4}-2$

2. $f(x)=(-2)^{x+5}$

3. $f(x)=5^x$

4. Abigail está participando en un torneo de tenis individual. El torneo consta de ocho rondas antes del partido final. Si el torneo es de eliminación directa, ¿cuántos partidos se jugarán? ¿cuántos competidores hay en el torneo?

Respuestas

Esta no es una función de crecimiento, ya que $h$ y $k$ no son cero. El intercepto en $y$ es $y=3^{0-4}-2=\frac{1}{81}-2=-1\frac{80}{81}$ , la asíntota esta en $y=-2$ , el dominio son todos los números reales y el rango es $y>-2$ .

2. Esta no es una función de crecimiento, ya que $h$ no es cero. El intercepto en $y$ es $y=(-2)^{0+5}=(-2)^5=-32$ , la asíntota esta en $y=0$ , el dominio son todos los números reales y el rango es $y>0$ .

3. Esta es una función de crecimiento. El intercepto en $y$ es $y=5^\circ =1$ , la asíntota esta en $y=0$ , el dominio son todos los números reales y el rango es $y>0$ .

4. Si hay ocho rondas en los juegos individuales, habrán $2^8=256$ competidores. En la primera ronda, habrá 128 partidos, luego 64, seguido por 32, 16, 8, 4 y 2 hasta el juego de campeonato. Al sumarlos tendremos $128+64+32+16+8+4+2+1$ o 255 partidos en total.

Vocabulario

Función Exponencial: Una función cuya variable está en el exponente. Su forma general es $y=a \cdot b^{x-h}+k$ .

Función de Crecimiento Exponencial: Una tipo específico de función exponencial donde $h=k=0, a>0,$ y $b>1$ . Su forma general es $y=ab^x$ .

Asíntota: Una recta límite que restringe el dominio o rango. Esta recta no es parte del gráfico.

Práctica

Grafica las siguientes funciones exponenciales. Encuentra el intercepto en $y$ la ecuación de la asíntota, el dominio y el rango de cada función.

$y=4^x$
$y=(-1)(5)^x$
$y=3^x-2$
$y=2^x+1$
$y=6^{x+3}$
$y= -\frac{1}{4}(2)^x+3$
$y=7^{x+3}-5$
$y=-(3)^{x-4}+2$
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