Función de Decrecimiento Exponencial

En esta sección, aprenderás a graficar y analizar el decrecimiento exponencial.

La cantidad de habitante de una ciudad es 10.000 el 2012 y está disminuyendo un 5% cada año. Si la tasa de disminución continua, ¿qué pasara con los habitantes de la ciudad para el 2017?

Orientación

En la última lección, solo revisamos funciones donde $|b|>1$ . ¿Qué pasaría entonces si $b$ es menor que 1? Analicemos $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ .

Ejemplo A

Grafica $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ y compara con $y=2^x$ .

Solución: Hagamos una tabla de ambas funciones y luego grafiquemos.

$x$	$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$2^x$
3	$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$	$2^3=8$
2	$\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$	$2^2=4$
1	$\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{1}{2}$	$2^1=2$
0	$\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$	$2^0=1$
-1	$\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$	$2^{-1}=\frac{1}{2}$
-2	$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$	$2^{-2}=\frac{1}{4}$
-3	$\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 8$	$2^{-3}=\frac{1}{8}$

Observa como $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ es un reflejo de $y=2^x$ sobre el eje $y$ . Por lo tanto, en vez de crecer exponencialmente, la función $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ disminuye o decae exponencialmente . Siempre que $b$ sea una fracción o decimal entre cero y uno, la función exponencial decae. Al igual que una función de crecimiento exponencial, la función de decrecimiento exponencial tiene la forma $y=ab^x$ y $a>0$ . Sin embargo, para que sea una función de decrecimiento $0<b<1$ . La función de decrecimiento exponencial también tiene una asíntota en $y=0$ .

Ejemplo B

Determina cual de las siguientes funciones son funciones de decrecimiento exponencial, crecimiento exponencial o ninguna. Justifica tu respuesta.

a) $y=4(1.3)^x$

b) $f(x)=3 \left(\frac{6}{5}\right)^x$

c) $y = \left(\frac{3}{10}\right)^x$

d) $g(x)= -2(0.65)^x$

Solución: a) y b) son funciones de crecimiento exponencial porque $b>1$ . c) es una función de decrecimiento exponencial porque $b$ se encuentra entre cero y uno; d) no es ninguna porque $a$ es negativo.

Ejemplo C

Grafica $g(x)=-2 \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}+1$ . Encuentra el intercepto en $y$ la asíntota, el dominio y el rango.

Solución: Para graficar esta función puedes ingresar (entered Y= -2(2/3)^(X-1)+1) a la calculadora o graficar $y=-2 \left(\frac{2}{3}\right)^x$ y luego desplazarla una unidad a la derecha y una unidad hacia arriba. Usaremos el segundo método, el resultado final se muestra en la función de color azul.

El intercepto en $y$ es:

$y=-2 \left(\frac{2}{3}\right)^{0-1}+1=-2 \cdot \frac{3}{2}+1=-3+1=-2$

La asíntota horizontal esta en $y=1$ , el dominio son todos los números reales y el rango es $y < 1$ .

Revisión del Problema Inicial Este es un ejemplo de una función de decrecimiento exponencial, por lo que nuevamente podemos usar la forma exponencial $f(x)=a \cdot b^{x-h}+k$ , En este caso a = 10,000, es la población inicial; x-h = 5 el número de años, donde k = 0, pero b es un tanto compleja. Si la población disminuye un 5%, cada año la población es (1 - 5%) o (1 - 0,05) = 0,95 lo que era el año anterior. Este es nuestro b .

$P = 10,000 \cdot 0.95^5\\\= 10,000 \cdot 0.7738 = 7738$

Por lo tanto, los habitantes de la ciudad el 2017 serán 7.738.

Práctica Guiada

Grafica las siguientes funciones exponenciales. Encuentra el intercepto en $y$ , la asíntota, el dominio y el rango.

1. $f(x)=4 \left(\frac{1}{3}\right)^x$

2. $y=-2 \left(\frac{2}{3}\right)^{x+3}$

3. $g(x)= \left(\frac{3}{5}\right)^x-6$

4. Determina cual de las siguientes funciones son funciones de decrecimiento exponencial, crecimiento exponencial o ninguna.

a) $y=2.3^x$

b) $y=2 \left(\frac{4}{3}\right)^{-x}$

c) $y=3\cdot 0.9^x$

d) $y=\frac{1}{2} \left(\frac{4}{5}\right)^{x}$

Respuestas

1.Intercepto en $y$ : $(4, 0)$ , asíntota: $y=0$ , dominio: todos los reales, rango: $y < 0$

2.Intercepto en $y$ : $\left(0, -\frac{16}{27}\right)$ , asíntota: $y=0$ , dominio: todos los reales, rango: $y<0$

3.Intercepto en $y$ : $(-5, 0)$ , asíntota: $y=-6$ , dominio: todos los reales, rango: $y>-6$

4. a) crecimiento exponencial

b) decrecimiento exponencial. Recuerda que los exponentes negativos cambian cualquier valor de la base. $y=2 \left(\frac{4}{3}\right)^{-x}$ es igual a $y=2 \left(\frac{3}{4} \right)^{x}$ , que se parece a nuestra definición de una función de decrecimiento.

c) decrecimiento exponencial

d) ninguna, $a < 0$

Vocabulario

Función de Decrecimiento Exponencial: Una función exponencial que tiene la forma $y=ab^x$ donde $a>0$ y $0<b<1$ .

Práctica

Determina cual de las siguientes funciones son funciones de decrecimiento exponencial, crecimiento exponencial o ninguna.

$y= -\left(\frac{2}{3}\right)^x$
$y= \left(\frac{4}{3}\right)^x$
$y=5^x$
$y= \left(\frac{1}{4}\right)^x$
$y= 1.6^x$
$y= -\left(\frac{6}{5}\right)^x$
$y= 0.99^x$

Grafica las siguientes funciones exponenciales. Encuentra el intercepto en $y$ la ecuación de la asíntota, el dominio y el rango de cada función.

$y= \left(\frac{1}{2}\right)^x$
$y=(0.8)^{x+2}$
$y=4 \left(\frac{2}{3}\right)^{x-1}-5$
$y= -\left(\frac{5}{7}\right)^x +3$
$y= \left(\frac{8}{9}\right)^{x+5} -2$
$y=(0.75)^{x-2}+4$
¿Son todos los números reales siempre el dominio de una función exponencial? ¿Por qué? o ¿por qué no?
Una tienda anuncia que el precio algunos productos será rebajados en un 10% por semana hasta que se vendan. El precio inicial de un producto es $50.
1. Escribe una función de decrecimiento exponencial que represente el precio del producto $x$ semanas después de ser anunciado.
2. ¿Cuál será el precio del producto luego de 5 semanas?
3. ¿Cuántas semanas tienen que pasar para que el precio del producto sea la mitad del precio original?

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